Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной
точке x0, т.е. имеет в этой точке производную 
(x0). Запишем приращение функции ∆y точке
x0:
∆y =(x0) ∆ x +
∆ x, где →0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы
6.1).
Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0. Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.
Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция
y=
=
(см. рис.4).
Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть
∆y = f(0+∆ x) ─
f(0) = f(∆ x) = 
,
=
=
,
т.е. в любой сколь угодно малой окрестности значения
отношение принимает два различных значения: 1 и ─1.
Это означает, что предел 
не существует, т.е. функция y= не имеет производной в точке x = 0, а, следовательно,
график функции не имеет касательной в точке O(0;0) (поскольку угловой коэффициент
касательной должен быть равен производной, но производной не существует).