Геометрический смысл дифференциала
Пусть функция y=f(x)
дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим
график этой функции (см. рис.3). Проведём в точке М(x0; y0) графика касательную
MT. Угловой коэффициент этой касательной, tg α, равен производной 
(x0). Дадим аргументу x0 приращение ∆ x. Тогда ордината
графика функции получит приращение ∆ y, а ордината касательной — приращение
∆ yк. Из треугольника MAB видно, что ∆ yк = ∆ x tg α. Но
tg α = (x0). Поэтому ∆ yк = (x0) ∆ x = (x0) dx.
Но последнее выражение, (x0) dx, есть дифференциал dy функции y=f(x):
dy =(x0)dx. Следовательно ∆
yк = dy. Итак, дифференциал функции y=f(x) в некоторой точке x есть приращение
ординаты касательной к графику функции в этой точке, соответствующее приращению
аргумента ∆ x.
Производные простейших элементарных функций.
Степенная функция y=xα. Область определения x зависит от значения показателя α.
В случае целочисленного показателя, а также в том случае, когда 
,
где m — целое нечётное число, 
.
Если же 
, то 
(если при этом α > 0, то допускается
x=0).
Производная этой функции ( xα
=
. В частности, 
, 
.
Показательная функция y = ax, a > 0, a ≠ 1.
Производная этой функции ( ax= ax ln a, в частности, ( ex= ex.
Логарифмическая функция y = logax, a > 0, a ≠ 1.
Производная этой функции (logax
, в частности, ( ln x=
.
Тригонометрические функции y = sin x, y = cos
x, y = tg x ( x ≠ k π+
), y = ctg x
( x ≠ k π ).
Производные этих функций:
( sin x= 
,
( cos x= 
, ( tg x=
, ( ctg x=
.
Обратные тригонометрические функции y = arcsin
x (
),
y = arccos x(), y = arctg x, y = arcctg x.
Производные этих функций:
( arcsin x
,
( arcos x
,
( arctg x
,
( arcctg x
.
В математике и приложениях встречаются гиперболические функции:
гиперболический синус
– sh x =
,
гиперболический косинус – ch x =
,
гиперболический тангенс – th x =
,
гиперболический котангенс – cth x =
.
Производные этих функций:
(
sh x= ch x, ( ch x=
sh x, ( th x=
, ( cth x=
( x ≠ 0 ).