Пример. Найти производную функции y = x5.
По формуле для
производной степенной функции при 
находим
=
5
.
Пример. Найти производную
функции y =
.
Перепишем выражение для y в виде 
.
По формуле для производной степенной функции
при 
находим
Основные правила вычисления производных.
Теорема 10.1. Пусть функция u=φ(x)
имеет в данной точке x0 производную 
.
Тогда функция y = c∙u имеет в точке x0 производную 
.
Здесь c — произвольная постоянная.
Доказательство. Дадим аргументу x приращение ∆ x. Тогда
∆ y = y(x0+∆ x) ─ y(x0) = c∙ φ(x0+∆ x) ─ c∙ φ(x0) = c∙[φ(x0+∆ x) ─ φ(x0)] = c∙∆φ.
Теорема доказана.
Теорема 10.2. Пусть функции u(x) и v(x) имеют в данной точке x0 производные. Тогда в этой же точке имеют производные и функции u(x) + v(x), u(x) ─ v(x),
u(x) ∙ v(x), а также (если v(x0)≠0) функция
,
причём (
, 
, 
.
Доказательство. Пусть f(x) = u(x) + v(x). Тогда ∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) =
= u(x0+∆ x) ─ u(x0) + v(x0+∆ x) ─ v(x0).
(x0)
= 
= 
+ 
=
. Таким образом, 
.
Совершенно аналогично доказывается, что 
.
Пусть теперь f(x) = u(x) ∙ v(x). Тогда
∆ f = f(x0+∆ x) ─ f(x0) = u(x0+∆ x) ∙ v(x0+∆ x) ─ u(x0) ∙ v(x0).
Введём для удобства обозначения: ∆u = u(x0+∆ x) ─ u(x0), ∆v = v(x0+∆ x) ─ v(x0),
u = u(x0), v = v(x0). Тогда u(x0+∆ x) = u + ∆u, v(x0+∆ x) = v + ∆v,
∆f = (u + ∆u) ∙ (v + ∆v) ─ u ∙ v = ∆u ∙ (v + ∆v) + u ∙ ∆v.
Так как функция v(x) дифференцируема (имеет производную) в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, при ∆ x→0 и ∆ v→0. Поэтому
= 
∙ v + u ∙
+ ∙ ∆ v =
=
.
Таким образом, .
Пусть
далее f(x) =. Тогда
∆ f =
─ 
= 
(здесь обозначения u, v, ∆u, ∆v имеют тот
же смысл, что и выше).
= 
. Так как ∆ v = 0, то
=
=
. Таким образом, .
Теорема доказана.