Производная сложной функции.
Теорема 12.1 Пусть функция
u =φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную 
, а функция 
имеет в соответствующей точке 
производную 
. Тогда сложная функция 
в точке x0 также имеет производную, равную произведению
производных функций 
и φ(x):
.
Коротко это соотношение можно записать в виде
.
Доказательство. Дадим аргументу
x приращение ∆ x. Тогда функция u =φ(x) получит приращение ∆
u, а функция получит приращение ∆ y. Так
как функции φ(x) и имеют производные, то есть дифференцируемы, то 
, а 
, где 
при 
и 
при 
.
Подставим выражение для ∆u в выражение для ∆y:
.
Разделим это равенство на ∆x:
.
Если
, то
и (как следует из выражения для ∆ u) .
Но тогда и . Поэтому
=
.
Теорема доказана.
Остановимся
на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть 
,
где C — константа. Тогда 
, 
.
Пусть, например, 
. Здесь 
, 
. Введём обозначение 
, тогда 
, 
.