Логарифмическое дифференцирование
Пусть функция 
дифференцируема в точке x и принимает в этой точке положительное
значение. Тогда в окрестности этой точки существует функция 
Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию аргумента x с промежуточным
аргументом y. Продифференцируем эту функцию:
.
Из этого соотношения можно выразить производную 
: 
. Такая операция нахождения производной после предварительного
логарифмирования называется логарифмическим дифференцированием. Существуют функции,
производную которых можно найти только таким способом. К числу этих функций относится
степенно-показательная функция 
, где 
и 
– дифференцируемые функции аргумента x. В качестве примера
найдём производную этой функции с помощью логарифмического дифференцирования.
Прологарифмируем
эту функцию: 
.
Продифференцируем обе части полученного равенства:
, отсюда (т.к. )
.
Раскрыв скобки, получим окончательную формулу
(13.1)
Рассмотрим пример конкретной функции.
Пример. Найти производную
функции 
.
Решение. Можно сразу воспользоваться формулой (13.1), но можно выполнить логарифмическое дифференцирование и непосредственно:
,
.
Бывают
случаи, когда применение логарифмического дифференцирования не необходимо, но
целесообразно. Пусть, например, 
. Конечно, в этом случае можно непосредственно
воспользоваться правилами вычисления производной, но логарифмическое дифференцирование
упрощает выкладки:
,
,
.