Односторонние производные
Производная есть предел разностного
отношения 
, причём этот предел не зависит от
характера стремления 
к нулю ( может быть как больше, так и меньше нуля, то есть может
стремиться к нулю как справа, так и слева). Но в ряде случаев функция может не
иметь в заданной точке производной, хотя в этой точке существует предел отношения
при условии, что
стремится к нулю только справа (правый предел) или только слева (левый предел),
или же существует как правый, так и левый предел, но они не равны друг другу.
Например, если функция определена на отрезке, а за пределами этого отрезка не
определена, то на границах отрезка могут существовать только односторонние пределы.
Такие односторонние пределы называются односторонними производными. А именно,
если для рассматриваемой функции в заданной точке существует правый (левый) предел
отношения , то этот предел называется
правой (левой) производной. Правая производная функции 
обозначается символом 
, левая
– символом 
. То есть 
, 
. Выше (см. § 7) уже говорилось о том, что функция
y=
=
не дифференцируема в точке x = 0.
Однако в этой точке она имеет как правую, так и левую производную. Действительно,
, 
.
Если функция имеет в точке x производную, то очевидно, что она имеет
в этой точке как правую, так и левую производную, причём 
.
Верно и обратное утверждение:
если функция имеет в точке x равные между собой правую и
левую производную, то она имеет в этой точке и производную, причём
.