Свойства дифференцируемых функций
Возрастание и убывание функции в точке и на интервале
Дадим определение возрастания и убывания
функции в точке. Мы будем говорить, что функция y=f(x) возрастает (убывает) в
точке c, если найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой при 
а при 
(при 
а при 
).
Напомним определения монотонных и строго монотонных функций на интервале.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале, если для любых x1 и x2 из этого интервала, удовлетворяющих условию x1< x2, справедливо неравенство
( 
). Неубывающие и невозрастающие функции
называются монотонными.
Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале, если для любых x1 и x2 из этого интервала, удовлетворяющих условию x1< x2, справедливо неравенство
( 
). Возрастающие и убывающие функции
называются строго монотонными.
Докажем теорему, устанавливающую достаточные условия возрастания (убывания) функции.
Теорема 16.1. Если функция f(x)
дифференцируема в точке c и 
(
), то эта функция возрастает (убывает) в точке
c.
Доказательство. Рассмотрим случай . Из определения производной следует, что 
. Поскольку , то (по теореме о сохранении знака функции,
имеющей предел) найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой отношение
остаётся положительным. Но это
значит, что в пределах данной окрестности при а при 
, т.е. функция f(x) возрастает в точке c. Аналогично
доказывается, что при функция f(x) убывает в точке c.
Теорема доказана.