Свойства дифференцируемых функций
Локальный максимум и локальный минимум функции.
Дадим определение локального максимума и локального минимума функции.
Говорят, что функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум),
если найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой значение 
является наибольшим (наименьшим) среди всех значений функции в этой окрестности,
то есть всюду в этой окрестности выполняется условие 
(
).
Для обозначения локального максимума и локального минимума функции употребляется единое название локальный экстремум.
Следующая теорема устанавливает необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Теорема
17.1 (называется иногда теоремой Ферма). Если функция f(x) дифференцируема в точке
c и имеет в этой точке локальный экстремум, то 
.
Доказательство.
Так как функция f(x) имеет в точке c локальный экстремум, то она не может в этой
точке ни возрастать, ни убывать. Следовательно, в силу теоремы 16.1 производная
не может быть ни положительна, ни отрицательна, то есть
.
Теорема доказана.
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что если в точке локального экстремума график функции имеет касательную, то эта касательная параллельна оси абсцисс (рис. 5).
Отметим,
что равенство нулю производной является необходимым, но не достаточным условием
локального экстремума. Рассмотрим в качестве примера функцию 
( рис.6).
Производная
этой функции 
. В точке 
. Однако функция возрастает на всей числовой оси и не имеет в точке
локального экстремума.