Теорема Коши
Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.
Теорема 20.1 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x)
непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого
отрезка, причём производная 
отлична
от нуля во всех внутренних точках отрезка [a;b]. Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся
такая точка c, что справедлива формула
Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.
Доказательство. Убедимся сначала в том, что
знаменатель левой части формулы Коши не равен нулю (так как в противном случае
это выражение не имело бы смысла). В самом деле, если бы было 
, то для функции 
были бы выполнены все условия теоремы Ролля,
и, следовательно, внутри отрезка [a;b] нашлась бы такая точка c, что 
,
а это равенство противоречит условию теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную
функцию 
.
Функция 
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке
[a;b] (поскольку непрерывны 
и
) и во всех внутренних точках
отрезка [a;b] имеет производную, равную
.
Кроме того, очевидно, что 
. Таким образом, как следует из теоремы Ролля, внутри
отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что 
, то есть
, или
.
Разделив это равенство на 
(в данном случае это возможно, та как 
), получим требуемое равенство.
Теорема доказана.