Исследование функций с помощью производных
Условие постоянства функции на интервале
Рассмотрим достаточное условие постоянства дифференцируемой функции на интервале.
Теорема 21.1. Если функция 
дифференцируема на интервале (a;b), и если всюду
на
этом интервале 
, то функция является постоянной на этом интервале. [an error occurred while processing this directive]
Доказательство. Зафиксируем некоторую точку x0 из интервала (a;b) и возьмём любую другую точку x из этого интервала. Отрезок [x0, x] целиком принадлежит
интервалу (a;b),
поэтому функция дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду
на отрезке [x0, x]. Это значит, что для функции на отрезке [x0, x] выполнены условия теоремы
Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка [x0, x] найдётся такая точка c, что 
.
Но так как по условию всюду на интервале (a;b) , то и 
, а, следовательно, 
. Это равенство означает, что значение функции в произвольной точке интервала (a;b)
равно её значению в фиксированной точке x0, то есть функция
постоянна всюду на интервале (a;b).
Теорема доказана.