Исследование функций с помощью производных
Отыскание точек локального экстремума функции
Как следует из теоремы 17.1, производная
дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю.
Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом
интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю.
Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются
точками возможного экстремума или стационарными точками. Однако в стационарной
точке не обязательно достигается локальный экстремум функции. Например, функция
не имеет локального экстремума в стационарной
точке x=0. Предположим теперь, что функция дифференцируема всюду на заданном интервале,
за исключением конечного числа точек, в которых эта функция не имеет производной.
В тех точках, в которых функция имеет отличную от нуля производную, эта функция,
как следует из теоремы 16.1, либо возрастает, либо убывает. Поэтому в таких точках
локального экстремума быть не может.
В остальных точках заданного интервала,
т.е. в стационарных точках и в тех точках, где функция не имеет производной, наличие
локального экстремума возможно. Так, например, функция y=
не имеет производной в точке x = 0, но в этой точке функция
имеет локальный минимум (рис. 4). Такие точки, а именно стационарные точки и те
точки, в которых функция не имеет производной, называются критическими точками.
Для того чтобы выяснить, имеется ли экстремум в критической точке, требуется дополнительное
исследование. Рассмотрим достаточное условие достижения функцией локального экстремума
в критической точке.
Теорема 23.1 (первое достаточное условие экстремума).
Пусть функция 
дифференцируема
всюду в некоторой окрестности критической точки 
, за исключением, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если в пределах этой окрестности
производная 
положительна (отрицательна)
слева от точки и отрицательна (положительна) справа от точки , то функция имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же производная
имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.
Доказательство.
Рассмотрим случай, когда в пределах некоторой окрестности производная положительна слева от точки и отрицательна справа от точки . Выберем в пределах рассматриваемой
окрестности произвольную точку 
, отличную от точки . Функция дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду
на отрезке 
, за исключением, быть
может, точки , и непрерывна в точке . Поэтому для функции на отрезке выполнены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно,
внутри отрезка найдётся такая точка c, что 
.
Поскольку производная 
положительна при 
и отрицательна при 
, то в пределах рассматриваемой окрестности выражение
отрицательно. Но это означает,
что в пределах данной окрестности значение 
является наибольшим, то есть точка доставляет функции локальный максимум. Рассуждая точно
также, можно доказать, что в случае, когда производная отрицательна слева от точки и положительна справа от неё, точка
доставляет функции
локальный минимум, а в случае, когда производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки ,
выражение имеет разные знаки слева и справа
от точки , что означает отсутствие
экстремума в точке .
Теорема доказана.