Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Исследование функций с помощью производных

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема всюду на этом отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек. Пусть, кроме того, производная отлична от нуля всюду на отрезке [a;b] за исключением, быть может, конечного числа точек. Эти предположения означают, что на отрезке [a;b] может содержаться лишь конечное число критических точек функции . Поставим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции на отрезке [a;b]. Поскольку функция непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего максимального и своего минимального значения. Каждое из этих значений может достигаться либо во внутренней точке отрезка [a;b] (очевидно, что в таком случае оно совпадает с одним из локальных экстремумов), либо на одном из концов этого отрезка. Отсюда следует, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] достаточно сравнить между собой значения этой функции во всех точках локального экстремума и в граничных точках отрезка (в точках a и b) и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Для этого нужно исследовать все критические точки на наличие экстремума и для тех критических точек, которые являются точками экстремума, вычислить значение функции . Если же исследование критических точек на наличие экстремума окажется затруднительным, можно просто вычислить значения функции во всех критических точках и в граничных точках и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. Отметим, что если функция имеет на отрезке [a;b] лишь одну критическую точку и эта точка является точкой локального максимума (минимума), то можно сразу, не сравнивая значение функции в этой точке с её значениями на концах отрезка, сделать вывод, что это значение является наибольшим (наименьшим) значением функции на отрезке [a;b].

Пример Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Находим критические точки функции: ,

при , при и при . Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек нет. Находим значения функции в критических точках и на границах отрезка: , , , , . Отсюда видно, что наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 10, наименьшее значение равно .