Направление выпуклости графика функции.
Асимптоты графика функции
Пример. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. Так как 
, то прямая 
является для графика функции вертикальной асимптотой.
При этом 
.
Найдём 
:
.
Найдём теперь
:
,
следовательно,
прямая 
является для графика заданной функции наклонной асимптотой
при 
. Точно также можно убедиться
в том, что прямая является наклонной асимптотой этого графика и при 
.
Пример
. Убедимся в том, что график параболы 
не имеет асимптот. Действительно,
, 
, следовательно, график данной функции
не имеет наклонной асимптоты. Так как функция непрерывна на всей действительной
оси, то её график не имеет и вертикальных асимптот.
Схема исследования графика функции
Для того чтобы исследовать график заданной функции, целесообразно решить следующие задачи.
1. Уточнить область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на каждом из которых функция либо всюду положительна, либо всюду отрицательна).
4. Найти точки разрыва (если они существуют) и выяснить характер разрыва.
5. Выяснить вопрос о существовании асимптот.
6. Найти интервалы возрастания и убывания функции.
7. Найти экстремумы функции.
8. Найти интервалы, на которых сохраняется определённое направление выпуклости графика функции, и точки перегиба графика.
Пример Исследовать график функции 
.
Решение.
1. Областью определения
заданной функции служит вся действительная ось за исключением точки 
.
2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
3.
При 
и при 
, при 
, следовательно, график функции пересекает ось абсцисс
в точках 
и 
, а ось ординат пересекает в точке
. Для исследования интервалов
знакопостоянства достаточно представить выражение, определяющее функцию, в виде
. Отсюда видно, что в интервалах 
и 
функция знакоположительна (
), а в интервалах 
и 
– знакоотрицательна (
).
4. Так как 
, 
, то в точке функция имеет разрыв второго рода.
5. Из рассуждений
предыдущего пункта следует, что прямая является вертикальной асимптотой.
Выясним, имеет ли функция наклонную асимптоту:
,
.
Следовательно, функция
имеет наклонную асимптоту 
.
6. Вычислим первую производную
функции: 
.
Первая производная в интервалах 
и 
положительна, в интервалах 
и 
отрицательна, в точке производная не существует. Следовательно, заданная функция
в интервалах и является возрастающей, в интервалах и – убывающей.
7. В точках 
и 
, поэтому в этих точках функция имеет локальные экстремумы.
Так как слева от точки производная отрицательна, а справа — положительна, то
в этой точке функция имеет локальный минимум, при этом значение функции в этой
точке равно 
. В точке функция имеет локальный максимум, так как слева от этой
точки производная положительна, а справа отрицательна. При этом значение функции
в этой точке равно 
.
8. Вычислим вторую производную: 
. В интервале 
график функции имеет выпуклость, направленную вверх,
в интервале – выпуклость, направленную
вниз, поскольку на первом из этих интервалов 
, а на втором 
. Точек перегиба график не имеет, так как вторая производная
нигде не равна нулю, а в точке , где не существует второй производной, сама функция не
определена.
График этой функции изображён на рисунке 8.
