Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути
Интегрирования
Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D:
Движение по контуру L - в положительном направлении.
С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл.
Пример 2
Вычислить интеграл
где L - пробегаемая в положительном направлении окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
РЕШЕНИЕ
В данном интеграле
Следовательно
По формуле (38) получим
где D - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Двойной интеграл вычислим в полярных координатах
Без применения формулы Грина данный интеграл вычислить невозможно, так как невыполнимо интегрирование функций
С помощью формулы Грина доказывается, что криволинейный интеграл
не зависит от пути интегрирования MN, а зависит лишь от положения точек М и N, если во всех точках односвязной области D соблюдается равенство
При этом условии интеграл по любому
замкнутому контуру L
D равен нулю.
Область О называется односвязной, если ее граница состоит из одного не самопересекающегося контура L и внутри контура L нет точек, не принадлежащих области D.
Если выполняется
равенство (39), выражение 
является полным дифференциалом некоторой функции U=U(x,y)
Функцию U=U(x,y) называют потенциальной (первообразной) функцией для выражения
Р(х, y)dx + Q(x,y)dy
Она может быть найдена по формуле
Где (x0,y0) - любая фиксированная точка области D; (х,у) - переменная точка; С -произвольная постоянная.
При выполнении условия (39) криволинейный интеграл равен разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках пути интегрирования:
| На главную сайта Dvoika.net |