Поверхностный интеграл первого рода
Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Производя относительно поверхности S и функции f(x,y,z) действия, подобные действиям при составлении суммы (1), составим сумму
где п - число частей, на которые разделена поверхность S; произвольная точка, взятая в i -ой части; ΔSi - площадь i -ой части.
Поверхностный интеграл первого рода от функции f(x, у, z) по поверхности S определяется как предел
Поверхностный интеграл 1 -го рода обладает такими же свойствами, как и другие, рассмотренные интегралы. Интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования.
Чтобы вычислить поверхностный интеграл первого рода, его нужно преобразовать в двойной интеграл с использованием уравнения поверхности S.
Так, если поверхность S задана уравнением z= F(х,у), то дифференциал площади определяется по формуле
Поверхностный интеграл по S равен двойному интегралу по области Dxy, которая является проекцией поверхности S на координатную плоскость хОу:
С помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислить:
1) площадь поверхности S
2) массу материальной поверхности с
распределённой плотностью 
3) координаты центра масс, моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным (6) и (7).
Пример 3.
Вычислить массу поверхности S с распределённой плотностью
μ = 4- z. Поверхность задана уравнениями
Рис.9- к примеру 3
РЕШЕНИЕ Поверхность S - часть цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ох (см. рисунок 22), она однозначно проектируется на плоскость хОу в прямоугольную область
Поверхность задана уравнением, которое запишем в виде
и определим дифференциал площади
| На главную сайта Dvoika.net |