Расчет электрической цепи с взаимоиндуктивными связями методом контурных токов
Заданы коэффициенты индуктивной связи:
K13 — 0.3, k34 - 0.5, kJ6 - 0.4 .
На рис. 12 и рис.13 приведены граф и схема электрической
цепи, причем на рис. 13 источник тока J5 преобразован в источник ЭДС : Е5 := 
J5,
E5 = 52.395+30.25J, а точками отмечены «начала» обмоток катушек, охваченных взаимоиндуктивными
связями.
Ранее рассчитаны индуктивные сопротивления
XL1= 15.834; ХL3=
19.792; ХL4= 7.917; XL6= 15.834.
Находим сопротивления индуктивных связей Второй закон Кирхгофа Электротехника и электроника
Уравнение
по методу контурных токов в матричной форме Zk
Ik:=
Ek. В уравнении: Zk -матрица комплексных коэффициентов, Ek, Ik -векторы контурных
ЭДС в неизвестных контурных токов соответственно.
Записываем выражения для контурных и взаимных сопротивлений:
Z11:=Z1+Z2+Z4; Z33:=Z4+Z5+Z6;
Z22:=Z2+Z3+Z5; Z13:=-Z4+jXM16;
Z12:=-Z2+jXM13+jXM14; Z23:=-Z5-jXM34;
Z21:=Z12; Z31:=Z13; Z32:=Z23.
Матрица комплексных сопротивлений и вектор контурных ЭДС:
Решение системы уравнений - контурные токи
Токи ветвей выражаем через контурные токи. Поскольку в заданной схеме (рис.6) в 5 — й ветви параллельно резистору включен источник тока, пятая строка вектора содержит J5. Тогда
Рассчитаем комплексные амплитуды составляющих напряжений на каждом элементе:
URn ULn UCn
| -10.996+1.285j | -3.39-29.019j | 0 |
| -1.488+4.694j | 0 | 5.93+1.879j |
| -15.852+5.468j | -13.529-39.218j | 6.907+20.023j |
| -14.467-0.19j | 0.301-22.907j | 0 |
| -18.931-34.995j | 0 | 0 |
| 4.243+1.009j | -3.993+16.794j | 1.593-6.699j |
Составляющие напряжений на катушках, обусловленные взаимоиндуктивными связями:
UXM13
;
Напряжения на индуктивносвязанных катушках:
Правильность решения проверяем по балансу напряжений и ЭДС в первом контуре
UR1+UL1+UXM16+UXM13-UR2-UC2+UR4+UL4+UXM43-E1=0.
Баланс напряжений и ЭДС в этом контуре обеспечиваются; следовательно, расчет выполнен правильно. Аналогичную проверку проводим для других контуров.
Построим векторную диаграмму токов, сходящихся в первом узле.
Для этого сформируем вспомогательные матрицы
ID1:=[0 -I1 0 I4 0 I6]; ID
Рис.14. Векторная диаграмма токов, сходящихся в первом узле
Разделяя схему замещения
на 4-полюсники с известными передаточными характеристиками можно достаточно просто
проанализировать прохождение сигнала.
Одними из самых мощных методов понижения
порядка системы уравнений являются метод контурных токов и метод узловых потенциалов.
Рассмотрим метод узловых потенциалов, поскольку дальше он нам ещё встретиться.
В
этом методе неизвестными будут являться узловые потенциалы i . Поэтому нам необходимо
будет только записать систему из (n-1) уравнений по первому правилу Кирхгофа и
решить её относительно (n-1) неизвестного i. Зная разность узловых потенциалов,
мы в дальнейшем по закону Ома (простая операция!) можем найти токи в ветвях.
Особенно
привлекателен этот метод в случае применения линейных аналоговых элементов, так
как математики дали нам несколько мощных методов разрешения системы линейных алгебраических
уравнений.
Один из них - матричный - заключается в составлении матрицы коэффициентов
при неизвестных и матрицы известных величин. При этом неизвестное будет равно
отношению соответствующего алгебраического дополнения к детерминанту матрицы коэффициентов.
