Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом
Комплексные числа
Для расчёта электрических цепей переменного тока с применением комплексных чисел необходимо знать формы их выражения. Алгебраическая форма имеет вид:
А = а + jb (3.1)
где а — вещественная часть, b — мнимая часть, j = 
– мнимая единица.
Комплексное число можно показать на комплексной плоскости
как вектор, конец которого имеет координаты а и b (рисунок 3.1). По горизонтальной
оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной — мнимые. Принцип
действия асинхронной машины и режимы ее работы Трехфазная обмотка статора
создает магнитное поле, вращающееся со скоростью
Рисунок 3.1
Длина отрезка ОМ в определённом масштабе определяет абсолютное значение или модуль комплексного числа:
A = 
а) б) в)
Рисунок 3.2
Формула для определения угла α зависит от квадранта, в котором находится вектор комплексного числа. Угол α откладывается в положительном направлении против часовой стрелки, а в отрицательном направлении - по часовой стрелке от вещественной положительной оси. Это можно показать на рис. 3.2 (а, б и в).
Поскольку при расчёте угла α учащиеся зачастую допускают ошибки, формулы для его определения можно свести в таблицу 3.1. в которой также указываются знаки вещественной и мнимой частей в зависимости от квадранта, в котором находится заданный комплекс.
Если в формулу (3.1) подставить выражения a = A * Cos a и b = A * Sina , то получаем тригонометрическую форму выражения комплексного числа:
Таблица 3.1
| № квадрантов | Знаки вещественной и мнимой частей | Формулы для определения угла | |
| a | b | ||
| I | + | + | arc tg b/a |
| II | – | + |
|
| III | – | – |
|
| IV | + | – | arc tg b/a |
180A = A * Cos α + jA * Sin α = A (Cos α + j Sin α).
В математике доказывается, что Cos α + j Sin α = ejα.
Тогда комплексное число можно выразить в показательной форме:
A = A * ejα.
Таким образом, комплексное число можно представить в виде:
A = a + jb = A (Cos α + j Sin α) = A * ejα. (3.2)
Комплексное число A = a — jb = A (Cos α — j Sin α) = A * ejα называется сопряжённым. Действия с комплексными числами выполняются так же, как действия с алгебраическими выражениями. Наиболее удобными для расчётов в комплексной форме являются микрокалькуляторы: SR-135 "CITIZEN"; SC-503 "CEDAR"; SC-105 "SHARP" и другие, подобные им по содержанию расширенной клавиатуры, имеющие специальный режим работы с комплексными числами, включаемый клавишами <Shift> или <2nd> + <CPLX>.
Электротехники, пользуясь тем,
что в большинстве случаев применяются линейные элементы, а также то, что применяемые
источники выдают либо постоянный, либо гармонический сигнал, пошли путём упрощения
модели и разработки простых методов расчёта системы уравнений. Понижение порядка
системы уравнений за счёт огрубления модельного представления (снижение количества
ветвей и узлов) также вполне допустимо, так как все электротехнические устройства
выполняются с определёнными допусками.
И только сейчас, когда разработчики
электронных приборов освоили сигналы с длиной волны сравнимой (а то и меньше)
с размерами самих приборов, наблюдается переход в расчётах к уравнениям Максвелла.
Во
многих случаях при решении простых задач с линейными элементами можно и не составлять
систему уравнений. Для этого просто используют результаты решения базовых случаев.
Прежде
всего можно выделить 2 базовых конфигурации.
" Последовательное подключение
к источнику двух и более нагрузок (приёмников) - правило делителя напряжения;
" Параллельное подключение к источнику двух и более нагрузок (приёмников)
- правило делителя токов.
