Основные операции и элементы алгебры логики.
Основой построения любого устройства, использующего цифровую информацию, являются элементы двух типов: логические и запоминающие. Логические элементы выполняют простейшие логические операции над цифровыми сигналами. Запоминающие элементы служат для хранения цифровой информации (состояния разрядов кодовой комбинации).
Логическая операция состоит в преобразовании по определенным правилам входных цифровых сигналов в выходные. Математически цифровые сигналы обозначают поразрядно символами, например x1, x2, x3, x4. Их называют переменными. Каждая переменная может принимать значение "0" или "1". Результат логической операции часто обозначают F или Q. Он также может иметь значение "0" или "1". Математическим аппаратом логики является алгебра Буля. В булевой алгебре над переменными "0" или "1" могут выполняться три основных действия: логическое сложение, логическое умножение и логическое отрицание. Импульсные цепи Общие сведения В современных электронных устройствах, системах связи, автоматического управления и вычислительной технике информация часто передается в виде электрических импульсов различной формы.
Логическое сложение (дизъюнкция или операция ИЛИ) записывается в виде
Правила выполнения операции ИЛИ заключаются в следующем:
|
0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 1. |
(17.1) |
Логические схемы, реализующие операцию ИЛИ; называют ячейками ИЛИ. Их схемное обозначение приведено на рис. 17.1а. Простейшая реализация логической ячейки ИЛИ на диодах приведена на рис. 17.1б. Напряжение на выходе схемы будет равно E (F=1), если хотя бы на один из входов будет подан единичный сигнал. Вольт-амперная характеристика p-n перехода Если к p-n переходу подвести внешнее напряжение так, чтобы направление внешнего электрического поля совпало с направлением внутреннего электрического поля перехода, т.е. подключиться минусом к р- области и плюсом к n-области, то это приведёт к увеличению напряжённости электрического поля в p-n переходе и к увеличению высоты потенциального барьера до величины φ0+Е
Логическое умножение (конъюнкция или операция И) записывается в виде
Правила выполнения операции И заключаются в следующем
(17.2)
 |
Логические схемы, реализующие правила (17.2), называются ячейками И. Их схемное обозначение приведено на рис. 17.2а. Простейшая реализация логической ячейки И на диодах приведена на рис. 17.2б. Напряжение на выходе
только в том случае, если все диоды будут закрыты,
т. е. на всех входах будет потенциал Е (логическая 1). В противном случае открывшийся
диод шунтирует нагрузку и 
.Логическое отрицание (инверсия или операция НЕ) записывается в виде
и читается: F равно не x. Правила выполнения операции НЕ заключаются в следующем
(17.3)
Логические схемы, реализующие правило (17.3) называются ячейками НЕ. Их графическое обозначение приведено на рис. 17.3. Операция НЕ может быть реализована схемой транзисторного ключа.
Рассмотренные логические правила и схемы позволяют реализовать сколь угодно сложную логическую функцию. Например, функция
реализуется пятью логическими элементами, в том числе два элемента И, два элемента НЕ и один элемент ИЛИ (см. рис. 17.4).
Все логические элементы выпускаются в микросхемном исполнении. Они входят в состав всех серий цифровых микросхем и имеют следующие условные обозначения:
элементы "ИЛИ" — ЛЛ;
элементы "И" – ЛИ;
элементы "НЕ" – ЛН.
Например, микросхема К555 ЛИ1 имеет в своем составе 4 элемента "И" на два входа каждый.
 |
Основные теоремы алгебры логики.
Теоремы для одной переменной охватывают все операции над переменной x и константами "0" и "1":
|
|
|
|
Теоремы для двух или более переменных — x и y:
Переместительный закон:
Сочетательный закон:
Распределительный закон:
Доказательство:
Здесь к скобке применена теорема 2.
Закон поглощения:
Доказательство:
Доказательство:
Закон склеивания:
Доказательство:
Закон отрицания (теорема де-Морана)
|
|
|
