Установим закономерность уменьшения амплитуды 
затухающих колебаний и определим частоту колебаний
. Будем считать, что потери энергии
системы в процессе колебаний в основном предопределены работой против сил сопротивления.
За время 
система смещается на 
и теряет энергию
.
(11.90)
Отсюда вытекает, что скорость уменьшения энергии пропорциональна кинетической энергии системы
.
(11.91)
Допустим, что при небольшом затухании 
колебаний кинетическая энергия равняется половине
всей механической энергии 
. Тогда имеем:
. (11.92) Физика курс лекций
Понятие о ядерной энергетике Цепная реакция деления
Это предположение значит, что энергия затухающих колебаний уменьшается тем медленнее, чем меньше становится сама энергия.
Разделим переменные в предыдущем уравнении:
.
(11.93)
Затем проинтегрируем это уравнение:
.
(11.94)
Постоянную интегрирования 
определим из начальных условий. Если в начальный момент
времени 
механическая энергия системы равнялась 
, то
.
(11.95)
Перейдя от логарифмов к показательной функции, находим
.
(11.96)
Поскольку механическая энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды затухающих колебаний, то зависимость амплитуды от времени имеет вид:
, (11.97)
где 
- амплитуда колебаний
в начальный момент времени 
. Следовательно, амплитуда затухающих колебаний уменьшается
со временем по экспоненциальному закону (см. Рис. 11.7). В общем случае закон
уменьшения амплитуды колебаний зависит от характера сил сопротивления, которые
действуют в системе.
Учитывая зависимость , получим уравнение затухающих колебаний
,
(11.98)
где частота колебаний еще подлежит определению, а начальные значения амплитуды
и фазы 
определяются для конкретного колебания из начальных условий, как и в случае свободных
колебаний при отсутствии силы сопротивления. Частоту определим из условия, что последнее выражение для 
является решением дифференциального уравнения затухающих колебаний. То есть подстановка
в дифференциальное уравнение выражений для 
превращает левую часть уравнения в тождественный ноль.
Из образованного таким образом тождества вытекает формула частоты затухающих колебаний
. (11.99)
Период затухающих колебаний
.
(11.100)
Следовательно, частота затухающих колебаний всегда меньше от частоты
собственных колебаний системы 
, то есть наличие сил сопротивления в системе 
уменьшает частоту (увеличивает период) колебаний. При большом затухании 
система, выведенная из положения равновесия,
не осуществляет колебаний 
, а постепенно приближается к положению равновесия. Такое
движение называется апериодическим 
.
