Установим закономерность уменьшения амплитуды 
затухающих колебаний и определим частоту колебаний
. Будем считать, что потери
энергии системы в процессе колебаний в основном предопределены работой против
сил сопротивления. За время 
система смещается на 
и теряет энергию
. (11.90)
Отсюда вытекает, что скорость уменьшения энергии пропорциональна кинетической энергии системы
. (11.91)
Допустим, что при небольшом затухании 
колебаний кинетическая энергия равняется половине
всей механической энергии 
. Тогда имеем:
. (11.92)
Это предположение значит, что энергия затухающих колебаний уменьшается тем медленнее, чем меньше становится сама энергия.
Разделим переменные в предыдущем уравнении:
. (11.93)
Затем проинтегрируем это уравнение:
. (11.94)
Постоянную интегрирования 
определим из начальных условий. Если в начальный момент
времени 
механическая энергия системы равнялась 
, то
. (11.95)
Перейдя от логарифмов к показательной функции, находим
. (11.96)
Поскольку механическая энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды затухающих колебаний, то зависимость амплитуды от времени имеет вид:
, (11.97)
где 
- амплитуда колебаний
в начальный момент времени 
. Следовательно, амплитуда затухающих колебаний уменьшается
со временем по экспоненциальному закону (см. Рис. 11.7). В общем случае закон
уменьшения амплитуды колебаний зависит от характера сил сопротивления, которые
действуют в системе.
Учитывая зависимость , получим уравнение затухающих колебаний
, (11.98)
где частота колебаний еще подлежит определению, а начальные значения амплитуды
и фазы 
определяются для конкретного колебания из начальных условий, как и в случае
свободных колебаний при отсутствии силы сопротивления. Частоту определим из условия, что последнее выражение для 
является решением дифференциального уравнения затухающих колебаний. То есть
подстановка в дифференциальное уравнение выражений для 
превращает левую часть уравнения в тождественный ноль.
Из образованного таким образом тождества вытекает формула частоты затухающих
колебаний
. (11.99)
Период затухающих колебаний
. (11.100)
