Затухающие колебания
В реальных физических системах, которые осуществляют колебательное движение,
всегда действуют силы внутреннего и внешнего трения и сопротивления среды.
Поэтому реальные колебания систем происходят с постепенными потерями энергии
на работу против сил сопротивления и создания колебаний в окружающей среде.
Уменьшение механической энергии проявляется в том, что со временем уменьшается
амплитуда колебаний, поскольку 
. Спустя некоторое время начальная энергия полностью
расходуется и амплитуда колебаний практически неотличима от нуля, то есть
колебания системы прекращаются. Колебания, которые происходят с постепенной
потерей начальной энергии колебательной системы, называются затухающими.
Большинство механических колебаний происходят при небольшой скорости колебательного
движения. В этом случае сила сопротивления 
пропорциональна скорости:
, (11.86)
где 
- коэффициент сопротивления; знак «минус» указывает на
то, что векторы 
и 
имеют противоположные направления. Если на колеблющуюся
систему действуют: упругая (или квазиупругая) возвращающая сила (пропорциональная
смещению) и сила сопротивления, то согласно второму закону Ньютона имеем
. (11.87)
Разделив это уравнение на массу 
системы, получим дифференциальное уравнение затухающих
колебаний:
, (11.88)
где 
- собственная частота свободных колебаний системы; 
- коэффициент затухания колебаний. Решение этого однородного дифференциального
уравнения при 
можно записать в виде
, (11.89)
где 
- амплитуда погасающих колебаний как функция времени;
- циклическая частота колебаний.
Установим закономерность уменьшения амплитуды затухающих колебаний и определим частоту колебаний
. Будем считать, что потери
энергии системы в процессе колебаний в основном предопределены работой против
сил сопротивления. За время 
система смещается на 
и теряет энергию
. (11.90)
Отсюда вытекает, что скорость уменьшения энергии пропорциональна кинетической энергии системы
. (11.91)
Допустим, что при небольшом затухании 
колебаний кинетическая энергия равняется половине
всей механической энергии 
. Тогда имеем:
. (11.92)
Это предположение значит, что энергия затухающих колебаний уменьшается тем медленнее, чем меньше становится сама энергия.
