Разделим переменные в предыдущем уравнении:
. (11.93)
Затем проинтегрируем это уравнение:
. (11.94)
Постоянную интегрирования 
определим из начальных условий. Если в начальный момент
времени 
механическая энергия системы равнялась 
, то
. (11.95)
Перейдя от логарифмов к показательной функции, находим
. (11.96)
Поскольку механическая энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды затухающих колебаний, то зависимость амплитуды от времени имеет вид:
, (11.97)
где 
- амплитуда колебаний
в начальный момент времени 
. Следовательно, амплитуда затухающих колебаний уменьшается
со временем по экспоненциальному закону (см. Рис. 11.7). В общем случае закон
уменьшения амплитуды колебаний зависит от характера сил сопротивления, которые
действуют в системе.
Учитывая зависимость 
, получим уравнение затухающих колебаний
, (11.98)
где частота колебаний 
еще подлежит определению, а начальные значения амплитуды
и фазы 
определяются для конкретного колебания из начальных условий, как и в случае
свободных колебаний при отсутствии силы сопротивления. Частоту определим из условия, что последнее выражение для 
является решением дифференциального уравнения затухающих колебаний. То есть
подстановка в дифференциальное уравнение выражений для 
превращает левую часть уравнения в тождественный ноль.
Из образованного таким образом тождества вытекает формула частоты затухающих
колебаний
. (11.99)
Период затухающих колебаний
. (11.100)
Следовательно, частота затухающих колебаний всегда меньше от частоты собственных
колебаний системы 
, то есть наличие сил сопротивления в системе 
уменьшает частоту (увеличивает период) колебаний. При большом затухании 
система, выведенная из положения равновесия,
не осуществляет колебаний 
, а постепенно приближается к положению равновесия. Такое
движение называется апериодическим 
.
Затухающие колебания не являются гармоническими, поскольку амплитуда колебаний
изменяется. В этом случае под амплитудой понимают наибольшее значение, которого
достигает соответствующая величина (смещение, скорость, ускорение) в течение
одного периода колебаний. В строгом понимании, затухающие колебания нельзя
также считать периодическими. По определению, периодическим является такой
процесс, при котором за каждый период повторяется любое состояние колебательной
системы. Однако в процессе затухающих колебаний состояние колебательной системы
вообще точно не повторяется. Например, если в два последовательных момента
времени 
и 
смещения системы одинаковы и равны нулю, то скорости
в эти моменты неодинаковы 
, поскольку амплитуда скорости уменьшается со временем.
При малых силах сопротивления, затухающие колебания можно представить как
приблизительно периодический процесс.
