Решение соответствующего однородного дифференциального уравнения характеризует затухающие колебания, которые через некоторый промежуток времени практически исчезают. Найдем частное решение уравнения вынужденных колебаний. При этом будем считать, что под действием внешней силы колебания практически установились, и система осуществляет гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Тогда решение можно искать в виде
, (11.110)
где 
- амплитуда устоявшихся колебаний; 
- сдвиг фаз между смещением и вынуждающей
силой. Величины и необходимо определить. Имеем из последнего уравнения
и 
.
(11.111)
Подставим это в неоднородное дифференциальное уравнение
(11.112)
. Разложим синус косинус суммы по известным тригонометрическим формулам и запишем уравнение следующим образом:
(11.113)
Это уравнение справедливо для всех значений 
при условии, что коэффициенты, соответственно,
при 
и при 
в левой части уравнения равны аналогичным коэффициентам в правой части. Отсюда
получаем:
и 
. (11.114)
Чтобы определить 
, возведем в квадрат оба уравнения и сложим их
. (11.115)
Тогда амплитуда вынужденных колебаний равна
. (11.116)
Из второго уравнения находим, что сдвиг фаз между смещением системы из положения равновесия и вынуждающей силой равен:
. (11.117)
Следовательно, смещение из положения равновесия для вынужденных колебаний имеет вид
. (11.118)
Отсюда вытекает, что вынужденные колебания являются гармоническими колебаниями
с частотой 
вынуждающей силы. Амплитуда колебаний данной системы
при неизменных силах трения
и сопротивления среды 
пропорциональна амплитуде 
вынуждающей силы и зависит от ее частоты .
Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на величину , которая также является функцией .
