При заданных значениях амплитуды вынуждающей силы 
, которая приходится на единицу массы
колебательной системы, и коэффициента затухания 
, амплитуда вынужденных колебаний является функцией
только частоты 
вынуждающей силы. Функция 
проходит через максимум при некоторый характерной
для данной системы частоте 
. Явление резкого роста амплитуды вынужденных колебаний
при частотах вынуждающей силы, близких к 
, называется резонансом. Частота вынуждающй
силы , при которой амплитуда
колебаний достигает наибольшего значения 
, называется резонансной частотой. Очевидно, что максимальное
значение амплитуды достигается при минимальном значении подкоренного выражения
в правой части уравнения для смещения 
. Условием минимума является равенство нулю производной
от подкоренного выражения по частоте, то есть
. (11.119)
Отсюда находим резонансную частоту
. (11.120)
Подставив значение в выражение для амплитуды, имеем резонансное значение
амплитуды
. (11.121)
Резонансная частота при затухании колебаний 
всегда меньше собственной частоты 
системы. При незначительном затухании 
и стремлении частоты к резонансному значению 
амплитуда колебаний неограниченно возрастает, что является причиной последующего
разрушения колебательной системы. Кривые зависимости 
называют амплитудными резонансными кривыми. С увеличением
максимумы резонансных кривых
снижаются и смещаются в сторону меньших частот (см. Рис. 11.8).
При 
явление резонанса исчезает, то есть 
, и система получает статическое смещение
из положения равновесия
(11.122)
под действием постоянной силы 
, равной амплитуде вынуждающей силы.
При малом затухании 
имеем
(11.123)
и тогда добротность системы
. (11.124)
Добротность при показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний
в момент резонанса превышает статическое смещение 
системы под действием постоянной силы,
равной амплитуде вынуждающей силы. Чем выше добротность системы, тем выше
максимум амплитудной резонансной кривой и тем медленнее затухают ее свободные
колебания.
Проанализируем зависимость сдвига фаз от частоты . Если 
, то 
, то есть фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой
вынуждающей силы. С увеличением частоты , когда она приобретает значения, близкие к
, 
, то есть смещение колебательной системы
отстает от вынуждающей силы по фазе на 
. При последующем увеличении частоты 
сдвиг фаз достигает почти 
,
то есть изменение смещения и вынуждающей силы со временем происходит практически
в противоположных фазах.
Сдвиг фаз на при резонансе имеет существенное значение для вынужденных
колебаний. Поскольку вынуждающая сила опережает смещение на , то она действует в том же направлении,
что и вертикальная сила, то есть в направлении движения. При этом работа вынуждающей
силы всегда положительна. Вследствие этого энергия системы увеличивается.
Кривые, которые выражают изменение фазы 
при изменении частоты вынуждающей силы, называют фазовыми
кривыми резонанса.
Вынужденные колебания возникают также при периодическом кратковременном действии внешних сил на колебательную систему. Такое действие может иметь характер удара, толчков. В этих случаях также должно наблюдаться явление резонанса. Характерным является то, что резонанс будет происходить не только тогда, когда частота силового действия близка к частоте свободных колебаний системы, но и тогда, когда действие внешних сил повторяется с частотой, кратной частоте собственных колебаний системы.
Незатухающие колебания могут возбуждаться не только в результате действия внешних периодических сил, но и при периодическом изменении параметров колебательной системы. Такие колебания называют параметрическими. При определенной частоте изменения параметра амплитуда колебаний растет подобно явлениям резонанса. Поэтому параметрическое возбуждение колебаний часто называют параметрическим резонансом.
