Продифференцировав по времени уравнение для закона сложения скоростей, получим:
(12.12)
(учтено, что 
). Таким образом, ускорения частицы относительно систем
и 
одинаковы.
Сила 
, действующая на частицу в системе , совпадает с силой 
, действующей на частицу в системе :
. (12.13)
Последнее уравнение следует из того факта, что сила зависит от расстояний
между данной частицей и взаимодействующими с ней частицами (и, возможно, от
относительных скоростей частиц). Упомянутые расстояния (и относительные скорости)
полагаются в ньютоновской механике одинаковыми во всех инерциальных системах
отсчета. Масса также имеет одинаковое числовое значение во всех системах отсчета.
Из сказанного ясно, что если выполняется соотношение 
, то будет выполняться и равенство 
.
Системы и были выбраны совершенно произвольно. Поэтому
полученный результат означает, что законы механики одинаково формулируются
для всех инерциальных систем отсчета. Это утверждение называется принципом
относительности Галилея.
Величины, которые имеют одно и тоже числовое значение во всех системах отсчета, называются инвариантными. Примерами инвариантных величин являются: масса, электрический заряд и т.д. Инвариантными по отношению к преобразованию координат и времени при переходе от одной инерциальной системы к другой называются также уравнения, вид которых не меняется при таком переходе (хотя величины, входящие в указанные уравнения, могут и изменяться). Теперь можно привести эквивалентную формулировку принципа относительности Галилея: уравнения механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.
Рассмотрим инварианты преобразований Галилея. 1. Инвариантность длины. Длина
стержня в системе равна
, (12.14)
где 
, 
, 
и 
, 
, 
- координаты начала и конца стержня. В системе
стержень движется поступательно и все его точки имеют скорость 
. Пусть засечки положения концов движущегося стержня сделаны
в системе в момент времени 
и характеризуются координатами: 
, 
, 
и 
, 
, 
. Тогда в силу преобразований Галилея:
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
(12.15)
Отсюда получаем:
; 
;
. (12.16)
Следовательно:
(12.17)
2. Инвариантность интервала времени. Рассмотрим интервалы времени в системах
и :
; 
.
(12.18)
Используя преобразования Галилея, можно записать: 
и 
. В итоге получаем:
. (12.19)
3. Инвариантность ускорения. Указанная инвариантность получена ранее при рассмотрении следствия
из закона сложения скоростей.
