Преобразования Лоренца
Так как преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам, противоречащим экспериментам, то появилась необходимость в нахождении других преобразований координат и времени, которые правильно описывают опытные данные. Подобные преобразования называются преобразованиями Лоренца. Они были использованы Эйнштейном, создавшим специальную теорию относительности, которая представляет собой физическую теорию пространства и времени для случая пренебрежимо малых гравитационных полей. В основе специальной теории относительности лежат два принципа: 1. Принцип относительности Эйнштейна: уравнения, выражающие законы природы, ковариантны по отношению к преобразованиям Лоренца 2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источников света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Ковариантность уравнений относительно некоторого преобразования означает неизменность их общего вида до и после соответствующего преобразования, хотя величины, входящие в эти уравнения, могут и меняться.
Эйнштейн распространил механический принцип относительности Галилея на все без исключения физические явления, а преобразования Галилея заменил преобразованиями Лоренца.
В дальнейшем будет показано, что скорость света в вакууме (обозначается
символом «
») является предельной, т.е. никакое воздействие тел друг
на друга не может распространяться со скоростями, превышающими .
Существование предельной скорости приводит к тому, что пространство и время
утрачивают приписывавшуюся им в ньютоновской механике обособленность, независимость
друг от друга и оказываются взаимосвязанными, образуя единое четырехмерное
пространство-время. Понятие о четырехмерном пространстве-времени впервые было
введено Минковским.
Согласно Минковскому «точечное» событие (например, распад элементарной частицы
или нахождение этой частицы в фиксированный момент времени в фиксированной
точке «обычного» пространства) характеризуется 4-мя величинами: координатами
и временем 
.
Такое событие, отображенное в 4-х мерном пространстве-времени, называется
мировой точкой. С течением времени мировая точка изменяет свое положение в
пространстве-времени, описывая траекторию, называемую мировой линией. Даже
если частица неподвижна в обычном пространстве-времени, ее мировая точка перемещается
вдоль прямолинейной мировой линии, параллельной оси 
.
При переходе к другой инерциальной системе отсчета значения координат
и времени частицы изменяются
и становятся равными 
. В общем случае преобразования имеют вид:
; 
;
; 
.
(12.20)
Общий вид функций 
определяется общими свойствами пространства-времени.
Главными свойствами пространства в инерциальных системах отсчета являются
его однородность и изотропность. Время обладает свойством однородности.
Из однородности пространства и времени следует, что функции 
должны быть линейными. Действительно,
рассмотрим бесконечно малое изменение 
, т.е. разность координат 
2-х бесконечно близких точек. В не штрихованной
(условно неподвижной) системе им будут соответствовать бесконечно малые разности
координат 
и времени 
. Согласно формуле полного дифференциала:
. (12.21)
В силу однородности пространства и времени эти соотношения должны быть одинаковыми
для всех точек пространства и для любых моментов времени. А это означает,
что величины 
, 
, 
, 
не должны зависеть от координат и времени, т.е. являются
постоянными. Поэтому функция 
имеет следующий вид:
, (12.22)
где 
- постоянные, не зависящие от координат и времени величины.
Таким образом функция 
является линейной функцией своих аргументов. Аналогично
доказывается линейность функций 
.
Получим явный вид для 
. Пусть имеются инерциальные системы отсчета 
и 
(см. Рис. 12.2). Система движется со скоростью 
вдоль оси 
, совпадающей с осью 
, относительно системы . При указанном на Рис. 5.2 направлении
координатных осей плоскость 
совпадает с плоскостью 
, а плоскость 
совпадает с плоскостью 
. Отсюда вытекает, что, например, координаты
и 
должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат
и времени. Это возможно лишь при условии:
, (12.23)
где, вследствие линейности уравнений, 
- постоянная величина. В виду равноправности
систем и 
по отношению к координатам
и 
(координаты и равноправны по отношению к движению вдоль оси
), обратное преобразование
должно иметь вид:
(12.24)
с тем же значением , что и при прямом преобразовании. Перемножив оба соотношения,
найдем, что 
, откуда 
. Для одинаково направленных осей надо взять 
.
Окончательно:
. (12.25)
Аналогично имеем:
. (12.26)
Из 2-х последних соотношений вытекает, что и не зависят от и 
. Справедливо и обратное: и не зависят от и . Соответственно, и не могут зависеть от и 
. Это означает, что и являются линейными функциями только и .