Рассмотрим точку 
на Рис. 12.2. Эта точка имеет координату
в системе 
и 
в системе 
. Следовательно, выражение 
должно обращаться в нуль одновременно с координатой 
. Для этого линейное преобразование должно иметь вид:
, (12.27)
где 
- константа.
Точка 
имеет координату 
в системе и 
в системе . Следовательно, выражение 
должно обращаться в нуль одновременно с координатой
. Для этого необходимо, чтобы выполнялось соотношение
. (12.28)
В силу равноправности систем и , коэффициент должен быть в обоих случаях один и тот же. Начнем отсчет
времени в обеих системах с того момента, когда начала и совпадают. Предположим, что в момент 
в направлении осей и посылается световой сигнал, который
производит вспышку на экране. Это событие (вспышка) характеризуется в системе
координатой и временем 
, а в системе - координатой и временем 
, причем: 
и 
, где учтено, что скорость света в вакууме 
имеет одинаковое значение в обеих системах
отсчета. Подставим эти 2 выражения в ранее полученные соотношения для
и :
(12.29)
и
. (12.30)
Перемножив эти соотношения и сократив обе части полученного равенства на
, получим:
. (12.31)
Отсюда:
, (12.32)
где 
. Подставляя выражение для в полученные ранее уравнения:
(12.33)
и
, (12.34)
имеем:
(12.35)
и
. (12.36)