Точка движется по кривой согласно уравнению 
(длина — в метрах, время — в секундах). Найти
среднюю скорость движения точки в промежутке времени от 
с до 
с .
Решение
Из формулы (1.1) следует, что модуль средней скорости равен отношению приращения
пути 
к приращению времени 
. Согласно условию задачи 
- криволинейная координата движущейся
точки. Если бы точка двигалась по кривой в течение всего промежутка времени
в одном направлении, то было
бы справедливо равенство: 
, где 
- приращение координаты за время . В противном случае 
. Действительно, если, например, координата
увеличивалась, то после изменения направления движения она начнет уменьшаться,
в то время как путь, пройденный точкой, продолжает расти. Тогда для нахождения
пути надо разбить промежуток времени
на такие 
промежутков 
, чтобы в течение каждого из них точка
двигалась в одном направлении. Вычислив изменение координаты 
,
соответствующее каждому из этих промежутков 
, определяем путь по формуле: 
. Исследуем данную функцию 
. Учтем, что в моменты изменения направления
движения точки по траектории скорость обращается в нуль. Предположив, что
такие моменты существуют, найдем их из соотношения: 
. Отсюда: 
. Значит, в течение промежутка 
действительно имеется один момент времени
, когда направление движения
точки изменяется. Обозначив ее координаты в моменты времени: 
соответственно через 
, получаем
для пройденного пути: 
. Из
заданного уравнения находим: 
; 
; 
. Пройденный путь равен: 
. Средняя скорость равна: 
.
Ответ: средняя скорость точки на указанном в задаче промежутке времени равна
.
