Законы сохранения
Принцип Гамильтона. Функция Лагранжа
Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается принципом наименьшего действия (принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией:
(4.1)
или, сокращенно, 
. Здесь: 
- 
величин (в принципе, любые), характеризующие положение
системы (с степенями свободы) называются обобщенными координатами;
- обобщенные скорости.
Одновременное задание всех обобщенных координат и обобщенных скоростей полностью
позволяет описать поведение системы и предсказать ее дальнейшее движение.
Движение системы удовлетворяет условию: пусть в моменты времени 
и 
система занимает определенные положения,
характеризуемые двумя наборами координат и 
и 
. Тогда между этими положениями система движется
так, что интеграл
(4.2)
имел наименьшее (для достаточно малых участков траектории) и экстремальное
(для всей траектории в общем случае) возможное значение. Функция 
называется функцией Лагранжа данной
системы. Интеграл 
называется действием.
Уравнения Лагранжа
Рассмотрим подходы к получению уравнений движения системы. Пусть, для простоты,
система обладает всего 1 степенью свободы, так, что должна быть определена
всего одна функция 
. Пусть 
есть как раз такая функция, для которой имеет минимум. Это означает, что
возрастает при замене на любую
функцию вида
, (4.3)
где 
- функция, малая во всем интервале времени от 
до 
(ее называют вариацией функции ).
Т.к. при и все функции должны принимать одни и те же значения
и , то
. (4.4)
Изменение при замене 
на 
дается разностью:
. (4.5)
