Разложение этой разности по степеням 
и 
подынтегральном выражении начинается с членов первого
порядка. Необходимым условием минимальности 
является обращение в нуль совокупности этих
членов (в разложение входят производные 
и 
, равные нулю, т.к. минимально). Указанную совокупность первых членов разложения называют вариацией интеграла (в частности — первой вариацией).
Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде:
(4.6)
или, произведя варьирование,
. (4.7)
Замечая, что 
,проинтегрируем второе слагаемое по частям, используя формулу:
(4.8)
и не выписывая для упрощения записи в промежуточных выкладках пределов интегрирования. Имеем:
(4.9)
далее
; 
;
(4.10)
; 
;
(4.11)
; (4.12)
;
.
Но, так как 
, то в выражении для 
остается вычитаемое, которое при всех значениях
должно быть равно нулю. Это
возможно только, если подынтегральное выражение тождественно обращается в
нуль. Т.е. получено уравнение
, (4.13)
либо для степеней свободы имеем уравнений типа:
, (4.14)
где 
. Последняя система уравнений называется уравнениями Лагранжа - в механике
(либо уравнениями Эйлера в вариационном исчислении). Если функция Лагранжа
данной механической системы известна, то уравнения Лагранжа устанавливают
связь между ускорениями, скоростями и координатами, т.е. представляют собой
уравнения движения данной системы.
