Интегралы движения
При движении механической системы 
величин 
и 
(при 
), определяющих ее состояние, изменяются со временем.
Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют при движении
постоянные значения, зависящие от начальных условий. Эти функции называют
интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой
механической системы с 
степенями свободы равно 
(т.к. общее решение системы из дифференциальных уравнений имеет
произвольных постоянных, кроме того, необходимо вычесть оду степень свободы,
т.к. уравнения не содержат времени явно). Однако, не все интегралы движения
играют важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых
связано с фундаментальными свойствами пространства-времени. Эти интегралы
движения имеют общее свойство аддитивности — их значение для системы, состоящей
из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений
для каждой из частей в отдельности (это дает возможность сделать ряд заключений
о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до взаимодействия
известны). Рассмотрим некоторые интегралы движения (и связанные с ними законы
сохранения), которые следуют из фундаментальных свойств пространства-времени.
§ 4.4. Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии связан с однородностью времени. Однородность времени означает, что если в 2 любых момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в ней будут протекать совершенно одинаково. В силу этой однородности функция Лагранжа не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана так:
. (4.19)
Т.к. уравнения Лагранжа имеют вид:
, (4.20)
то
. (4.21)
Тогда
(4.22)
или
. (4.23)
Отсюда очевидно, что величина
(4.24)
остается неизменной при движении замкнутой системы. Эта величина называется энергией.
