Закон сохранения момента импульса
Закон сохранения момента импульса связан с изотропией пространства. Изотропия пространства означает, что если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на любой угол, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились до поворота, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.
Рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция
Лагранжа при этом не изменилась. Введем вектор 
бесконечно малого поворота системы, абсолютная величина
которого равна углу 
поворота, а направление совпадает с осью поворота (по
правилу правого винта). Найдем приращение радиус-вектора 
, проведенного из общего начала координат
(расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой
системы (см. Рис. 4.1). Линейное перемещение конца радиус-вектора:
. (4.39)
Направление же вектора 
перпендикулярно к плоскости, проходящей через
и 
. Поэтому ясно, что
. (4.40)
При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому, приращение скорости относительно неподвижной системы координат:
. (4.41)
Подставим эти формулы в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте:
(4.42)
Далее, заменяем производные
(4.43)
и
. (4.44)
Кроме того:
. (4.45)
Или, произведя циклическую перестановку множителей и вынося
за знак суммы:
. (4.46)
Ввиду произвольности следует:
(4.47)
или
(4.48)
- закон сохранения момента импульса замкнутой механической системы.
Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего 7 аддитивных интегралов движения: энергию и по три компоненты векторов импульса и момента импульса. Закон сохранения момента импульса выполняется и во внешнем поле: сохраняется проекция момента импульса на такую ось, относительно которой данное внешнее поле симметрично. При этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-либо точки (начала координат), лежащей на этой оси.
