Консервативные силы
Консервативными (потенциальными) силами называются силы, работа которых
не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального
и конечного положений частицы. Разобьем произвольный замкнутый путь (см. Рис.
5.1) точками 1 и 2 произвольно на 2 участка 
и 
. Работа на замкнутом пути равна сумме работ на указанных
участках:
. (5.19)
Изменение направления движения на участке сопровождается заменой всех элементарных перемещений
на 
, вследствие чего величина 
меняет свой знак на обратный. Следовательно,
имеем:
, (5.20)
тогда
. (5.21)
Таким образом, работа консервативных сил по замкнутому контуру равна
нулю:
. (5.22)
Если силы, действующие на частицу, во всех точкам поля, передающего взаимодействие,
одинаковы по модулю и направлению, то такое поле называется однородным. Если
поле не изменяется со временем, то такое поле называется стационарным. Для
однородного и стационарного поля 
. Возьмем в однородном и стационарном
поле две произвольные точки 1 и 2 и вычислим работу, совершаемую над частицей
при ее перемещении из 1 в 2 по произвольной траектории. В выражении для работы
постоянную силу можно вынести за знак интеграла:
. (5.23)
Здесь: 
- модуль силы 
; 
- проекция перемещения 
на направление силы (ось 
на Рис. 5.2). Полученное выражение определяется только
положениями точек 1 и 2 и не зависит от формы траектории. Таким образом, доказано,
что силы однородного стационарного поля консервативны.
Примером однородного стационарного поля может служить поле силы тяжести
(
, где 
- ускорение свободного падения) в ограниченной области
вблизи поверхности Земли. Работа силы тяжести:
, (5.24)
где 
- проекция перемещения
на направление силы, т.е.
на направление вниз по вертикали. Таким образом, сила тяжести — консервативна.
Поле, в любой точке которого направление силы, действующей на частицу,
проходит через неподвижный центр, а модуль силы зависит только от расстояния
до этого центра, называется
центральным. Найдем работу в центральном, стационарном силовом поле. Имеем:
(5.25)
.Здесь 
- проекция элементарного перемещения на направление силы
. Из Рис. 5.3 видно, что 
- отталкивание и 
- притяжение. Тогда
- отталкивание
и 
- притяжение.
Оба интеграла зависят только от вида функции 
и от пределов интегрирования 
и 
; от формы траектории они не зависят. Следовательно,
силы центрального стационарного поля являются консервативными.
