Пример. Как правило, просто вычислить момент инерции однородных осесимметричных
тел. Рассмотрим в качестве примера однородный прямой цилиндр и вычислим его момент
инерции относительно геометрической оси 
(см. Рис. 10.5). Разобьем цилиндр
на слои радиуса 
и толщиной 
. Масса такого слоя равна:
,
(10.32)
где 
- высота цилиндра, 
- плотность материала, из которого изготовлен цилиндр.
Считаем, что все точки слоя отстоят от оси на одинаковом расстоянии . Тогда элементарный момент инерции
равен:
. (10.33 ) Физика курс
лекций Элементы электронной оптики Область физики и техники, в которой изучаются
вопросы формирования, фокусировки и отклонения пучков заряженных частиц и
получения с их помощью изображений под действием электрических и магнитных
полей в вакууме, называется электронной оптикой.
Интегральный момент инерции однородного прямого цилиндра относительно
оси равен:
.
(10.34)
Здесь 
- радиус основания цилиндра; кроме того, учтено, что масса
цилиндра равна: 
.
В заключение примера можно отметить, что полученное выражение не зависит от высоты
цилиндра, т.е. 
. Следовательно, формула 
определяет не только момент инерции цилиндра,
но и момент инерции тонкого диска того же радиуса относительно оси, перпендикулярной
к плоскости диска и проходящей через его центр.
§ 10.5. Теорема Гюйгенса-Штейнера
Для вычисления моментов инерции относительно произвольных осей полезна
теорема Гюйгенса-Штейнера. Найдем связь между моментами инерции элементарной массы
относительно 2-х различных параллельных
осей, проходящих через точки 
и 
. Пусть эти оси перпендикулярны плоскости Рис. 10.6. Тогда:
.
(10.35)
Согласно теореме косинусов можем записать:
.
(10.36)
Интегрируем выражение по :
.
(10.37)
Интеграл в левой части уравнения — это момент инерции 
тела относительно оси . Первый интеграл в правой части уравнения
равен моменту инерции относительно оси . Последний интеграл можно представить в виде:
, (10.38)
где
- радиус-вектор центра масс 
относительно оси (точнее, есть составляющая радиус-вектора центра масс, параллельная
плоскости 
). Таким образом:
.
(10.39)
Допустим, что ось проходит через центр масс тела. Тогда 
и предыдущая формула упрощается:
.
(10.40)
Последнее равенство отражает теорему Гюйгенса-Штейнера: момент
инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно
параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной 
,
где 
- расстояние между осями.
