Свойства моментов инерции
Вычисление момента инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса-Штейнера, также некоторые другие общие соображения, обозначенные ниже как следствие 1 и следствие 2.
Следствие 1. Вычисление момента инерции
тела относительно оси может быть облегчено предварительным вычислением момента
инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки
не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием,
служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки 
называется сумма произведений масс
материальных точек, из которых состоит тело, на квадраты их расстояний 
до точки :
.
(10.41)
В выражение для момента тела относительно оси входят, соответственно
квадраты расстояний элементарных масс 
до указанной оси. Рассмотрим сначала одну материальную
точку массой 
, которая имеет координаты 
в прямоугольной системе координат. Квадраты
расстояний материальной точки до координатных осей 
равны, соответственно:
- Физика курс лекций Дифракция света Принцип Гюйгенса — Френеля Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т. д
;
; 
, (10.42)
а моменты инерции относительно тех же осей:
;
; 
. (10.43)
Рассмотрим сумму моментов инерции:
, (10.44)
где
- расстояние материальной точки от точки начала координат .
Окончательно имеем:
.
(10.45)
Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки,
но и для произвольного тела. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно
трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке , равна удвоенному моменту инерции того
же тела относительно этой точки. Значение 
не зависит от ориентации координатных осей.
Таким образом, сумма моментов инерции 
относительно трех взаимно перпендикулярных осей,
проходящих через одну точку, зависит только от положения этой точки и не меняется
с изменением ориентации осей.
Следствие 2. Рассмотрим плоское распределение
масс тела, в частности, пластинку произвольной формы с произвольным распределением
вещества по ее объему. Если пластинка очень тонкая, то можно считать, что вещество
распределено бесконечно тонким слоем по математической плоскости. Примем эту плоскость
за координатную плоскость 
. Тогда аппликаты всех материальных точек будут равны
нулю, а потому момент инерции пластинки относительно начала координат представится выражением:
,
(10.46)
т.е. будет равен моменту инерции пластинки относительно оси 
. Таким образом, в случае плоского распределения
масс имеем:
, (10.47)
т.е.
.
(10.48)
Далее, очевидно, что величина не меньше каждого из моментов инерции 
, например: 
(знак равенства имеет место только
дл плоского распределения масс). Отсюда следует, что из отрезков, длины которых
численно равны всегда можно составить треугольник. Действительно, вычитая
неравенство 
из равенства , получим:
(10.49)
или
.
(10.50)
