Пример. В качестве конкретной реализации гармонического осциллятора можно
привести пружинный маятник. После начального толчка подвешенное на пружине
тело осуществляет гармонические колебания с некоторой амплитудой 
,
а соответствующая фазовая траектория имеет форму эллипса. При других начальных
условиях колебания происходят с другими амплитудами, но имеют тот же характер.
Следовательно, фазовый портрет пружинного маятника имеет вид семейства концентрических
эллипсов. В фазовый портрет входит также положение равновесия осциллятора,
то есть точка 
. Из геометрических
рассуждений вытекает, что это единственная особенная точка фазовой плоскости.
Такая точка может лежать только на оси 
, потому что в противном случае состояние покоя
осциллятора невозможно.
§ 11.7. Математический маятник
Одним из самых простых примеров гармонического колебания есть колебательное
движение математического маятника. Математическим маятником называют материальную
точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая колеблется в
вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Когда система находится
в покое, то сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити 
.
Если шарик отклонить на некоторый угол 
, то равнодействующая 
силы натяжения и силы тяжести 
пытается повернуть шарик в положение
равновесия. Горизонтальная составляющая силы тяжести (возвращающая сила) равна
. (11.37)
Поскольку зависимость такой силы от угла нелинейна, то колебания маятника не будут гармоническими.
Для малых углов можно записать, что
(11.38)
(где 
- горизонтальное смещение маятника от положения равновесия),
и выражение для возвращающей силы будет иметь вид
, (11.39)
где 
- длина маятника. В этом случае сила 
пропорциональна углу , потому колебания маятника можно считать
гармоническими. Уравнение движения математического маятника имеет вид
. (11.40)
Знак «минус» указывает на то, что возвращающая сила направлена к положению равновесия, а смещение отчисляется от положения равновесия, потому знак ускорения противоположен знаку смещения.
Проводя аналогию между математическим и упругом маятниками, можно записать, что коэффициент жесткости, и период колебаний имеют следующий вид:
и 
. (11.41)
Отсюда вытекает, что период колебаний математического маятника не зависит
от амплитуды колебаний (для малых значений угла отклонений 
) и массы маятника, а определяется его
длиной и ускорением свободного падения тел в данном месте Земли.
