Задача 11.10
Энергия передается на высокой частоте от генератора к излучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктивность L0 = 1,57 мкГн/м и емкость С0 = 7,1 пФ/м. Потерями в фидере можно пренебречь (R0 = G0 = 0). Частота переменного тока f = 108 Гц.
Определить:
а) волновое сопротивление, коэффициенты ослабления и фазы, длину волны; б) входное сопротивление отрезка этого фидера длиной в 1/8 длины волны при холостом ходе и коротком замыкании; в) расчет повторить для отрезков фидера длиной в 1/4, 3/8 и 1/2 длины волны, для каждого из рассчитанных случаев начертить эквивалентную схему фидера; г) начертить кривые изменения входных сопротивлений Zх и Zк в функции длины фидера.
Решение
а) вычислим Zв, β и λ соответственно по формулам
и 
Ом;
рад/м;
м;
б) из формулы 
находим 
а для фидера длиной l = λ/8
βl=
Входные сопротивления определим по формулам Zx=Zв/jtgβl; Zк=jZвtgβl;
Ом;
Ом.
Эквивалентная схема двухполюсника при холостом ходе — емкость с сопротивлением 470 Ом, при коротком замыкании — индуктивность с сопротивлением 470 Ом.
Расчет для других значений длины фидера рекомендуем проделать самостоятельно:
при l = λ/4 Zx = 0, Zк = ∞;
при l = 3λ/8 Zx = j470 Ом, Zк = -j470 Ом;
при l = λ/2 Zx = ∞, Zк = 0.
Кривые изменения входного сопротивления в функции длины фидера можно рассчитать по формулам Zx = Zв/jtgβl; Zк = jZвtgβl:
при холостом ходе Zн = ∞ Zx = -jZвtgβg;
при коротком замыкании Zн = 0 Zк = jZвtgβg.
Во всех рассмотренных случаях входное сопротивление линии является чисто реактивным: Z = jX (Zx = jXx, Zк = jXк).
Кривая Хк = f1(g) имеет катангенсоиды, а кривая Хк = f2(g) — тангенсоиды (рис. 11.10 а и б).
|
|
| Рис. 11.10 |
Задача 11.11
Фидер, параметры которого L0 = 1,57 мкГн/м, С0 = 7,1 пФ/м, имеет длину l= =5 м и находится в режиме холостого хода. Подсчитать действующие значения напряжения в конце и тока в начале линии, если к фидеру подключено напряжение u1 = U1msinωt (U1 = 10 В, f = 108 Гц). Начертить кривые распределения действующих значений напряжения и тока в начале фидера. Начертить кривые распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль фидера для двух моментов времени: t = 0 и t = T/8. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны.
Решение
Подсчитаем величины, которые потребуются в дальнейших расчетах:
βl = 2,1·5 = 10,5 рад = (4,22+2π) рад;
cosβl = cos(4,22+2π) = -0,472;
sinβl = sin(4,22+2π) = -0,881.
Примем 
В. Из
формулы 
; для режима холостого
хода (I2=0) определим действующее значение напряжения в конце линии (x=l):
U2=U1/cosβl=10/(-0,472)=21,2 В.
Действующее значение тока в начале линии вычислим по формуле
мА.
Комплексные действующие значения напряжений и токов можно записать на основании формул
;
В;
мА.
Действующие значения напряжений и токов соответственно равны
В;
мА.
По этим уравнениям на рис. 11.11 а построены соответствующие кривые.
|
|
|
Рис. 11.11 |
Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений напряжений и токов в режиме холостого хода (I2 = 0):
u=U2mcosβg
sinωt; 
Эти уравнения примут вид для момента t = 0:
u
= 0; 
мА;
для момента t = T/8
В;
мА.
На рис. 11.11 б построены кривые напряжения и тока для моментов t = 0 и T/8.
Коэффициенты отражения со стороны нагрузки определим по формуле
;
Коэффициент
бегущей волны 
Задача 11.12
Линию, параметры которой L0 = 1,67 мкГн/м, С0 = 6,67 пФ/м, l = 5 м, требуется согласовать с нагрузкой R2 = 5Zв с помощью четвертьволнового отрезка.
Определить волновое сопротивление Zв1 этого отрезка так, чтобы в точках аа соединения линии со вставкой не было отражения. Полагая, что напряжение на нагрузке U2 = 10 B, f = 108 Гц, вычислить напряжение и ток в начале вставки и в начале линии. Рассчитать и построить графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии и вставки. Вычислить мощность, подводимую к линии и расходуемую в нагрузке.
Решение
Схема согласования линии с нагрузкой с помощью четвертьволновой вставки дана на рис. 11.12 а.
|
|
|
Рис. 11.12 |
Вычислим длину волны и коэффициент фазы по формулам:
λ = 2π/β; υв = λ/Т = ω/β;
λ = c/f = 3·108/108 = 3 м; β = 2π/λ = 2π/3.
Длина четвертьволновой вставки l1 = λ/4 = 3/4 = 0,75 м.
Входное сопротивление нагруженной четвертьволновой вставки между точками аа можно определить, используя формулу
где thn = Zн/Zв или 
У такой вставки l1 = λ/4, а следовательно, по формулам
λ = 2π/β;
υв = λ/Т = ω/β имеем βl1 = 
Подставляем найденное значение βl1 в и, обозначая волновое сопротивление вставки Zв1, будем иметь
Последнее выражение дает неопределенность, раскрывая которую, получим
Для согласования линии с нагрузкой необходимо выполнить условие
Zвх = Zв или
.
Отсюда
Ом.
Напряжение и ток в начальной вставке (точки аа) найдем по формулам
;
в которых следует принять g = l1 и волновое сопротивление Zв1:
мА.
Линия в точках аа согласована с нагрузкой. Напряжение и ток в начале линии при отсчете с конца определяем формулами
Действующие значения напряжения и тока представляют собой модули последних комплексов и соответственно
.
Графики
этих величин — прямые, параллельные оси y (рис. 11.12 б). Распределение действующих
значений напряжения и тока вдоль вставки определяем по формуле 
где m = Zв1/R2 = 1120/2500≈0,45;
B;
мА.
По этим уравнениям на рис. 11.12 б построены кривые U(g) и I(g).
Расчет мощностей
Действующие значения напряжения и тока в начале линии имеют такие же значения, как и в точках аа, т.е. U1 = 4,5 B, I1 = 9 мА, а по фазе совпадают, так как линия согласована с резистивной нагрузкой, а подводимая к линии мощность P1 = =U1·I1 = 4,5·9·10-3 ≈ 40·10-3 Вт.
Мощность, расходуемая в нагрузке: 
Вт;
т.е. P2 = P1. Этот результат можно было предвидеть, если учесть, что линия идеальная и, следовательно, не имеет потерь, поэтому вся подводимая к линии мощность расходуется в нагрузке.
Задача 11.13
Линию без потерь, параметры которой Zв = 500 Ом, β = 2,1 рад/м, длина l = 5 м, надо согласовать с резистивной нагрузкой R2 = 2500 Ом с помощью короткозамкнутого шлейфа, имеющего такое же волновое сопротивление, как и линия на рис. 11.13. Определить минимальную длину шлейфа lш и место его включения, при которых входное сопротивление в месте присоединения шлейфа (точки bb) равно волновому сопротивлению линии.
Чему в этом случае равны ток, напряжение и мощность, подводимая к линии и расходуемая в нагрузке?
Напряжение на нагрузочном сопротивлении U2 = 10 В, частота f = 108 Гц.
Решение
|
|
|
Рис. 11.13 |
Из рис. 11.13 видно, что участок линии длиной l’ и шлейф, имеющий длину lш, соединены параллельно. Вычислим их эквивалентное сопротивление. Для этого надо определить входные сопротивления: Z’ — участка линии длиной l’ и Zш — сопротивление короткозамкнутой линии без потерь длиной lш. Каждое из этих сопротивлений вычисляем по формуле :
где m = Zв/R2; Zвх ш = jZвtgβlш.
Входные проводимости этих участков – величины, обратные их сопротивлениям. Входная проводимость участка линии длиной l’ представляет собой комплексную величину, а входная проводимость шлейфа — мнимую. Эти проводимости соответственно
Входное сопротивление любого отрезка линии, нагруженного согласованно, должно быть равно волновому сопротивлению. Это означает, что входное сопротивление в точках bb, представляющее собой сопротивление двух параллельных ветвей, тоже должно быть равно Zв:
Учитывая, что волновое сопротивление линии без потерь является действительной величиной, получим
1/Zв = G’; B’ = Bш;
или
(1)
и
(2)
Уравнение (1) с учетом значения m можно преобразовать следующим образом:
Следовательно, длину участка линии, находящегося за местом присоединения шлейфа, можно найти по формуле
(3)
Подстановка выражения tgβl’ в уравнение (2) дает возможность найти длину шлейфа lш. Простейшие преобразования приводят к формуле
(4)
Формулы (3) и (4) содержат круговые функции, которые многозначны. Это приводит к многозначности величин l’ и lш. При расчете следует выбирать наименьшее значение lш, так как это обеспечивает наименьшие размеры согласовывающего устройства.
Подставляя числовые значения в формулу (4), получим
Здесь принят знак плюс, так как при этом значении lш минимально.
Наконец по формуле (3) находим
Напряжение в точках bb присоединения шлейфа вычислим по формуле
где m = Zв/Zн.
Так как линия не имеет потерь, то напряжение в ее начале имеет тоже значение, т.е. U1 = 4,46 В. Ток в начале линии (так как линия нагружена на согласованную нагрузку):
I1 = U1/Zв = 4,46/500 = 8,92·10-3 А = 8,92 мА.
Мощность, поступающая в линию:
P1 = U1I1 = 4,46·8,92·10-3 = 40 мВт.
Мощность, расходуемая в нагрузке:
P2 = U2I2 = 10·(10/2500) = 40 мВт.
Мощности P1 = P2, так как линия не имеет потерь.
Задача 11.14
Резонатор (колебательный контур) выполнен из короткозамкнутого отрезка четвертьволновой медной двухпроводной линии длиной l = 0,75 м (рис. 11.14 а, б). Диаметр провода d = 4 мм, расстояние между ними а = 20 см. Определить длину волны λ0, резонансную частоту f0, первичные параметры отрезка линии R0, L0, C0?, волновое сопротивление Zв, коэффициент затухания α и входное сопротивление Zвх короткозамкнутого отрезка линии.
Вычислить параметры контура, эквивалентного четвертьволновому отрезку линии, и его добротность.
|
|
|
Рис. 11.14 |
Решение
Длина волны и соответствующая ей частота:
λ0 = 4l = 4·0,75 = 3 м; f0 = C0/λ0 = 3·108/3 = 108 Гц = 100 МГц.
Резистивное сопротивление единицы длины линии найдем по формуле
R0
= 16,65
= 16,65·10-2·
= 420 Ом/км = 0,42 Ом/м.
Индуктивность и емкость единицы длины провода вычислим по формулам:
Гн/км = 1842 мкГн/м;
Ф/км
= 6,03 мкФ/м.
Волновое сопротивление и коэффициент затухания определяем по формулам:
.
Входное сопротивление
где 
.
С учетом того что
Из теории известно, что эквивалентным коротковолновому четвертьволновому отрезку линии является параллельный контур (рис.12.14 б), параметры которого находим по формулам:
;
Добротность контура
Задача 11.15
Резонатор выполнен в виде разомкнутого четвертьволнового отрезка двухпроводной линии, параметры которой даны в предыдущей задаче. Вычислить параметры контура, эквивалентного разомкнутому четвертьволновому отрезку, и его добротность.
Решение
Эквивалентным разомкнутому четвертьволновому отрезку линии является последовательный контур R, L, C, параметры которого вычисляем по следующим известным из теории формулам:
Ом;
Гн;
Отметим, что добротность четвертьволнового отрезка линии в режимах короткого замыкания и холостого хода одна и та же.
Библиографический список
1. Теор. основы электротехники: Учеб. для вузов / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2003. — 576 с.: ил.
2. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. — 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2003. — 576 с.: ил.
3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. — 10-е изд. — М.: Гардарики, 2000. — 638 с.: ил. + Прил.
4. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. М.: Энергия, 1970. Ч. 1. 592 с.
5. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. Пособие для энергет. и прибростроит. специальностей вузов / Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди и др.; под ред. Л. А. Бессонова. — 4-е изд., перераб. — М.: Высш. шк., 2000. — 528 с.: ил. .
6. Шебес М. Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1990. 554 с
7. Сборник задач по расчету электрических цепей. Под ред. С. И. Куренева. М.: Высш. шк., 1967. 384 с.
Примеры решения задач по электротехнике