Комплекс полного сопротивления и комплекс полной проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме
Отношение комплекса напряжения к комплексу тока называется комплексом полного сопротивления цепи
.
(2.41)
Модуль комплексного сопротивления равен полному сопротивлению 
,
его аргумент — углу сдвига фаз 
. Комплексное сопротивление в алгебраической форме выглядит
следующим образом
. (2.42)
Следовательно, активное сопротивление есть вещественная часть, а реактивное — мнимая часть комплекса полного сопротивления цепи. Частные случаи формулы (2.42) приведены в таблице 2.1
Таблица 2.1
| Участок электрической цепи | Комплексное сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина, обратная комплексу полного сопротивления, называется комплексом полной проводимости
, (2.43)
где
, 
,
– полная, активная, реактивная проводимости
цепи соответственно.
Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений. Первый закон Кирхгофа: «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»
.
(2.44)
Второй закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура»
.
(2.45)
Таким образом, при комплексном представлении всех параметров методы расчета сложных цепей постоянного тока, основанные на законах Ома и Кирхгофа (контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора, преобразования и др.), можно применять для расчета цепей синусоидального тока.
Мощности в комплексной форме
Формулы для определения полной, активной и реактивной мощностей записаны раньше
Рассмотрим простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности по
комплексным напряжению и току. Для этого умножим комплекс напряжения на сопряженный
комплекс тока 
(2.46)
Полученное значение 
называют комплексом полной мощности. Из (2.46) видно,
что вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности, мнимая часть
– реактивной:
(2.47)
Пример 2.4. Определить активную, реактивную и полную мощности, если мгновенные значения тока и напряжения заданы уравнениями
Решение. Запишем комплексы действующих значений напряжений и тока
Комплекс полной мощности
+
Таким образом, 
= 500 ВА, 
= 433 Вт, 
= 250 вар.
2.5. Повышение коэффициента мощности
в цепях синусоидального
тока
Большинство современных потребителей
электрической энергии имеют индуктивный характер нагрузки, токи которой отстают
по фазе от напряжения источника. Активная мощность таких потребителей при заданных
значениях тока и напряжения зависит от 
Следовательно, повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока.
Если обозначить сопротивление проводов линии 
, то потери мощности в ней можно определить
так:
Таким образом,
чем выше 
потребителя, тем меньше потери мощности в линии и дешевле
передача электроэнергии. Коэффициент мощности показывает, как используется номинальная
мощность источника. Так, для питания приемника 1000 кВт при
= 0,5 мощность генератора должна быть
кВА,
а при = 1 
= 1000 кВА.
Следовательно, повышение увеличивает степень использования мощности генераторов.
Чтобы повысить экономичность энергетических установок, принимают повышают
– используют батареи конденсаторов, подключаемые параллельно индуктивной нагрузке
(рис. 2.18 а).
Рис. 2.18
Емкость конденсатора, необходимую для повышения 
от существующего значения 
до требуемого 
, можно определить по диаграмме (рис.
2.18 б, в). При построении векторной диаграммы в качестве исходного вектора принят
вектор напряжения источника. Если нагрузка представляет собой индуктивный характер,
то вектор тока 
отстает от вектора напряжения на угол 
.
Активная составляющая тока 
совпадает
по направлению с напряжением, реактивная составляющая тока 
отстает от него на 90° (рис. 2.18 б).
После подключения к потребителю батареи конденсаторов ток 
определяется как геометрическая сумма векторов и 
. При этом вектор емкостного тока опережает вектор напряжения на 90°
(рис. 2.18 в). Из векторной диаграммы видно, что 
, т.е. после включения конденсатора
коэффициент мощности повышается от до 
.
Емкость конденсатора можно рассчитать при помощи векторной диаграммы токов (рис. 2.18 в)
.
Учитывая, что 
, запишем емкость конденсатора
.
На практике обычно коэффициент мощности повышают не до 1,0, а до 0,90…0,95, так как полная компенсация требует дополнительной установки конденсаторов, что часто экономически не оправдано.
