Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Явление радиоактивности Радиация Электромагнитное излучение Действие ионизирующих излучений Поглощенная доза космогенные радионуклиды испытания ядерного оружия ядерный реактор продукты выброса Меры радиационной защиты воздействия радиации

Электрон-фононное рассеяние: высокие и низкие температурные области

    Тепловые колебания решетки представляют собой, также как и примесные атомы, дефекты - отклонения от идеальной (стационарной) решетки. Периодический потенциал жестко закрепленных ионов есть лишь некоторое приближение к истинному потенциалу

U(r) = sumR V(r - R - u(R)) = Uperiodic - sumR u(R)nabla.gif (67 bytes)V(r - R) + …

(10.18)

Разность U(r)-Uperiodic(r) можно считать возмущением, которое действует на стационарные одноэлектронные уровни периодического гамильтониана, вызывая переходы между блоховскими уровнями, приводящие к разрушению тока (в теории Блоха sigma = infin).
    Процессы электрон-фононного рассеяния являются неупругими - происходит испускание или поглощение фононов ( т.е. обмен энергиями электронов с решеткой). Процесс аналогичен рассеянию нейтронов.
    В простейших теориях учитывается испускание/поглощение одного фонона. Законы сохранения энергии и квазиимпульса записываются в виде

Ek=Ek' + h/omega(k-k').

(10.19а)

h/k = h/k' +h/q + h/G.

(10.19б)

где h/q - переданный фонону квазиимпульс, а G - произвольный вектор обратной решетки. Поскольку h/omega ~ 10-3 - 10-2 эВ, а Ek ~ 1 эВ, то h/ omega составляет лишь малую долю от характерных энергий электронов. Поверхность разрешенных векторов q+G при заданном k очень близка к геометрическому множеству векторов, соединяющих вектор k со всеми другими точками на изоэнергетической поверхности Ek=Ek'.

Высокие температуры (T>>θD).

При высоких температурах наиболее вероятно испускание и поглощение фононов с большими энергиями
h/ω ~ h/ωD, но при этом, поскольку h/ωD << kBT, число фононов, в каждой нормальной моде будет определяться выражением

n(q) = (exp(h/ω/kBT) - 1)-1 neaeqv kBT/h/ω(q).

(10.20)

Поэтому полное число фононов на поверхности разрешенных волновых векторов, отвечающей рассеянию данного электрона, пропорционально температуре.
    Полная вероятность рассеяния с испусканием фонона равна

W = 2pi/h/integraldq/(2pi)3 <k'-q|U|k>delta(E(k)-E(k-q)-h/omega(q)).

(10.21)

Аналогичную формулу можно написать для поглощения. Интегрирование delta-функции по dq дает множитель порядка

qmin2/мю ~ kF3/EF ~ kF3/[(h/kF)2/2m] ~ kFm/h/3,

(10.22)

Подставляя, получаем

W ~ 1/h/ (kFh/)2 h/omegaD/mn kBT/h/omegaDkFm.

В соответствии с (1.23) n ~ kF3 , и мы имеем

W ~ kBT/h/ и tau ~ W-1 ~ h//kBT.

(10.23)

Следовательно,

ro neaeqv m/ ne2tau neaeqv mkBT/ne2tau при T>>theta1.gif (58 bytes)D.

(10.24a)

kappa neaeqv pi2/3e2 sigmatau neaeqv pi2/3 nh//mkB = const(T).

(10.24б)

Из (10.23) -----> tau neaeqv 6·1016 эВ с / 10-2 эВ neaeqv 10-14 c, т.е. при высоких температурах вклад электрон-фононного взаимодействия является основным процессом рассеяния.

Низкие температуры (T << θD).

При низких температурах необходимо принять к рассмотрению несколько факторов:

  1. Электроны могут испускать или поглощать фононы с h/ω(q) < kBT (лишь такие есть фононы для поглощения, и лишь такие возбужденные электронные состояния для испускания фононов).
  2. Из первого условия следует |q| << kD. Для малых частот omega neaeqv vq, поэтому q < kBT/h/v. Следовательно, реально участвовать в процессах поглощения и испускания могут не все фононы с волновыми векторами на поверхности, разрешенной законами сохранения, а лишь фононы с волновыми векторами на малой части этой поверхности, линейные размеры которой пропорциональны Т, а площадь ~Т2, т.о. nq ~T2.
  3. Когда q<<kD, то квадрат константы электрон-фононной (e-ph) связи ~q

    Поскольку,

при |k-k'|<<k0, где 4pi е2/k02 = 2EF/ 3ne ,

то вероятность рассеяния Wk,k'~ |gk,k'|2 ~ q0neaeqvkBt/h/ Vs~ T.

С учетом этого

 ,

или

.

Исходя из времени релаксации может быть рассчитана теплопроводность. Имеем

κ ~ Cvλv ~ Cvv2τT~ (ћkFmT/ћ3)(ћkF/m)2(ћ/kBT)(ћωD/kBT)2
~ κ(T>>ћωD)(ћωD/kBT)2 ~ 108(θD/T)2 эрг/(см с К) = 10(θD/T)2 Вт/(см К)

κ(T>>ћωD)~ .

  1. При kBT<<h/omegaD скорость, с которой происходит уменьшение эл. тока, не просто пропорциональна частоте рассеяния 1/tauee-ph. При kBT<<h/omegaD|k-k'| = q << kD, т.е. изменение kF и скорость электронов ve становится все меньше при понижении температуры. Рассеяние становится почти упругим.

    Воспользуемся приближением изотропной среды. При очень низких температурах рассеяние на фононах является почти упругим, т.е. h/omega <<epsilonF. Частота столкновений в изотропной среде:

1/tau = integralW(phi)(1-cosphi)domega/4pi

Поскольку sinphi/2=q/2kF, то 1-cosphi=2sin2phi/2=1/2(q/kF)2. Но q=O(kBT/h/ VS) при T<<theta1.gif (58 bytes)D. Это приводит к 1/tau ~ integral T3*T2domega ~ T5 и, соответственно, ro ~ T5 - з-н Блоха при T<< theta1.gif (58 bytes)D. Дополнительный множитель Т2, учитывающий возрастание роли процессов рассеяния вперед при понижении температуры (при обычных температурах вклад рассеяния вперед пренебрежимо мал), возникает даже в анизотропном металле. Возрастание роли рассеяния электронов вперед резко отличает случай Т<< theta1.gif (58 bytes)D и процесс рассеяния электрона на фононе от фонона-на-фононе. В отличие от ситуации с электропроводимостью, каждое столкновение фонона с фононом будет эффективно менять и энергию и квазиимпульс. Поэтому, множитель в зависимости kappa ~ Т2 не будет возникать, а поэтому kappa ~ Т3. Т.е. закон Видемана-Франца выполняться не будет в этом случае.

Оценка:

1/τee-ph ~ <W(phi)phi2 > neaeqv (kBT/h/ )(kBT/h/omegaD)4

и σ ~ σ(T>>h/ωD)(h/ωD/kBT)4 ~ 1016(мю/kBT)((h/ωD/kBT)4 c-1.

Сопоставляя с теплоемкостью:

κ/σT~ (kBT/e2)(kBT/h/ωD)3noneqvconst(T)

Т.е., закон Видемана-Франца не выполняется.


7271f726
На главную сайта Dvoika.net