Наиболее
впечатляющим успехом модели Друде явилось объяснение эмпирического закона Видемана
и Франца (1853г.). Этот закон утверждает, что отношение теплопроводности к электропроводности,
/
,
для большинства металлов прямо пропорционально температуре, причем коэффициент
пропорциональности с достаточной точностью одинаков для всех металлов. Эта закономерность
видна из таблицы 1.2, где наряду с теплопроводностью приведены экспериментальные
значения чисел Лоренца /Т.
Таблица 1.2. Экспериментальные значения коэффициента теплопроводности и числа Лоренца
| Эл-т | ,
Вт/смК, 273К | /Т,
10-8 ВтОм/К2 273К | ,
Вт/смК, 373К | /Т,
10-8 ВтОм/К2 373К |
| Al | 2.38 | 2.14 | 2.30 | 2.19 |
| Cu | 3.85 | 2.20 | 3.82 | 2.29 |
| Fe | 0.80 | 2.61 | 0.73 | 2.88 |
| Ag | 4.18 | 2.31 | 4.17 | 2.38 |
| Au | 3.1 | 2.32 | 3.1 | 2.36 |
В модели Друде предполагается, что основная часть теплового потока в металле переносится электронами проводимости (металлы проводят тепло лучше, чем диэлектрики!). В соответствии с законом Фурье поток тепла пропорционален (и противоположно направлен) градиенту температуры
Jq= - | (1.7) |
T.Коэффициент пропорциональности
называют коэффициентом теплопроводности. Рассматривая одномерный случай с ниспадающим,
для определенности, вдоль х распределением температуры получаем поток тепла
Jq
= (1/2)nvх[E(T[x-v
])
- E (T[x+v])],
где
Е(x) - средняя энергия электронов в точке x.
Если
изменение температуры на расстоянии длины свободного пробега 
=
v
очень мало, то
Jq = nvх2dE/dT[-dT/dx].
Поскольку <vx2> = 1/3 v2 и ndE/dT = (N/V)dE/dT = (dU/dT)/V = Сv, где U - свободная энергия, Сv - электронная удельная теплоемкость, то имеем
Jq=1/3 v2 | (1.8) |
или
| (1.9) |
Поделив на выражение для электропроводности, получаем
| (1.10) |
В рамках классического идеального газа Друде полагал 1/2 mv2 = 3/2 kBT и сv=3/2 nkB. Это дает
| (1.11) |
Т.е., /Т зависит только от фундаментальных постоянных
в полном соответствии с законом В-Ф. Величина /(Т)
~1·10-8 Вт Ом/К2 в двое меньше экспериментальных значений.
[История: в первоначальном варианте Друде ошибся в два раза в электропроводности,
поэтому найденное им значение /(Т)
~2.22 10-8 Вт Ом/К2, оказалось в превосходном согласии с
экспериментом. Взаимная компенсация ошибок в cv и v2
примерно в 100 раз каждая.]
