Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Уравнение Шредингера для свободных электронов. Граничное условие Борна-Кармана.

В отсутствие взаимодействия одноэлектронная волновая функция, соответствующая энергия Е, удовлетворяющая уравнению Шредингера

-(2/2m) 2 = Е(r)

(1.18)

и периодическими граничным условиям Борна-Кармана

(x,y,z+L) = (x,y,z); (x,y+L,z) = (x,y,z); (x+L,,z) =(x,,z);

(1.19)

Решение волнового уравнения называют орбиталями. Оно имеет вид плоской волны

k(r)=(1/V)1/2 exp(ikr);

(1.20)

при этом энергия электронов

Е(k) = (k)2/2m ,

(1.21)

где k - любой вектор, не зависящий от пространственных координат, так что p = k, v = p/m = k/m. Соответственно, энергия электрона может быть записана в привычном классическом виде

Е = p2/2m = mv2/2.

(1.22)

Величину k можно интерпретировать как волновой вектор плоской волны, поскольку плоская волна ехр(ikr) имеет постоянное значение на любой плоскости переменной k и является периодической функцией в направлениях параллельных k. Соответствующая = 2/k -длина волны де Бройля. Собственные значения k: k_i = 2n_i/L , где i = x,, z и n_i = целые числа. Плотность уровней в k-пространстве: 1/(2/L)² или V/(2)³. В основном (с Т = 0) состоянии система из N электронов заполняет сферу в k-пространстве радиусом k_F (сфера Ферми, если не сфера, то - не наинизшее состояние!)

4/3k_F³ = N/2 (2/L)³

Откуда для волнового вектора Ферми получаем

kF = (32N/V)1/3 = (32/)1/3 = (32n)1/3,

(1.23)

где = 1/n = L³/N = V/N -объем, приходящийся на один электрон. Нередко этот объем представляют в виде сферы радиуса r_s = (3/(4))^1/3 =(3/(4n))^1/3 и тогда

kF = (32/(4/3rs3)1/3 = 1/rs (9/4)1/3 = 1.92/rs = 3.63/(rs/a0)1/A,

(1.24)

где а₀ = ²/mе² = 0.529 10^-8 см - боровский радиус.

vF = (kF/m)= (/m) (32/)1/3 = (/m)(32n)1/3 = 4.20·108/(rs/a0) см/с.

(1.25)

Учитывая, что а₀ = ²/mе², энергию Ферми часто записывают в виде

Е F = (kF)2/2m = (е2/2а0) (kFa0)2 = R(kFa0)2,

(1.26)

где R = е²/2а₀ = 13.6 эВ - постоянная Ридберга, представляет собой энергию связи основного состояния атома водорода. Поскольку k_Fa₀ ~ единицы, то эн. Ферми по порядку величины соответствует энергии связи в атоме. Для практических оценок:

Е F = 50.1 эВ/(rs/a0)2.

(1.27)

Поскольку Е_F = (²/2m) (3² N/V)^2/3 то полное число орбиталей с энергиями < Е:

N = (V/32) (2m/2)3/2 .

(1.28)

Отсюда плотность состояний ( число одноэлектронных орбиталей на единичный интервал энергии в единице объема):

g(Е) = dn/dЕ = (1/22) (2m/2)3/2 Е1/2.

(1.29)

Или по другому,

ln (n=N/V) = 3/2 ln Е + const ; dN/N = 3/2 dЕ/Е.

Следовательно,

g(Е) = dn/dЕ = 3/2 n/Е.

(1.30)

    Чаще всего интересует плотность уровней на границе Ферми, как и другие характеристики электронов в этой области. Из предыдущего видно, что в пределах фактора порядка единицы, плотность орбиталей в области энергии Ферми = полному числу фермиевских электронов, деленному на энергию Ферми.
    Чтобы рассчитать энергию, приходящуюся на один фермиевский электрон, для полной энергии ф. электронов в некотором объеме V запишем

U = 2(2/2m)k2.

(1.31)

Поскольку объем k-пространства, приходящийся на одно разрешенное значение k, k = 8³/V, то умножая обе части ур-я на k и переходя к интегрированию, получаем

U83/V = 22/2mdk k2 = 82/2mkF5/5 ,

(1.32)

т.е. U/V = (1/²)²k_F⁵/10m. Чтобы найти U/N, т.е. энергию основного состояния в расчете на один электрон, необходимо поделить на N/V = k_F²/3² , что дает

U/N = 3/102 kF2/m = 3/5 EF.

(1.33)

Этот результат можно записать как

U/N = 3/5 kBTF ,

(1.34)

где T_F - температура Ферми определяется соотношением

TF = ЕF/kБ = 58.2/(rs/a0)2 104 K.

(1.35)

Т.о., температура основного состояния ~10⁴-10⁵ K, а не нуль как это следовало бы из теории классического газа!!!

На главную сайта Dvoika.net