Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Основы зонной теории

Уравнение Шредингера для электрона в периодическом потенциале

    В 1-й лекции мы рассматривали систему невзаимодействующих электронов, взаимодействие которых с атомами/ионами кристалла сводилось к столкновениям со средней частотой ~ 1/ . Электроны не ощущали периодического потенциала решетки. Такую систему мы называли газом свободных электронов.
   В этой лекции мы начнем рассмотрение электронов в идеальном кристалле, где атомы расположены в строгом порядке, определяемом решеткой Браве. Следовательно, потенциал взаимодействия также обладает периодичностью решетки Браве:

U(r + R) = U(r),

(2.1)

где R - любой из векторов решетки Браве.
    Уравнение Шредингера для электрона в периодической решетке

Н = (-(2/2m)2 + U(r)) = E (r),

(2.2)

где потенциал обладает свойством (2.1).
   Одним из основных следствий периодичности потенциала является теорема Блоха.

Теорема Блоха (1928г.):

    Собственные волновые функции одноэлектронного гамильтониана

Н = -(²/2m)² + U(r),

где U(r + R) = U(r), при всех R , принадлежащих решетке Браве, могут быть выбраны в форме плоской волны, умноженной на функцию с периодичностью решетки Браве, т.е.

nk(r) = exp(ikr) unk(r),

(2.3)

где

unk(r + R) = unk(r)

(2.4)

для всех R, принадлежащих решетке Браве. Здесь n - номер зоны, появление котoрого связано с тем, что для данного k имеется множество решений.
    В иной записи теорема Блоха имеет вид

(r + R) = exp(ikR)(r),

(2.5)

что вытекает из (2.3) и (2.4).

Обобщенное граничное условие Борна-Кармана для периодического потенциала.

    Вместо макроскопического “ящика” с размерами L для периодических граничных условий Борна-Кармана в теории Зоммерфельда, выбираем “ящик” соразмерный элементарной ячейке соответствующей решетке Браве. Такое граничное условие является естественным обобщением граничных условий Борна-Кармана для периодического потенциала. Запишем его в виде

nk(r + Niai) = nk(r), i = 1, 2, 3

(2.6)

Здесь а_i - тройка основных векторов, а все N_i - целые числа достигающие величин порядка N^1/3, где N = N₁N₂N₃ - полное число элементарных ячеек в кристалле. Как и в теории Зоммерфельда, мы предполагаем, что объемные свойства кристалла не зависят от выбора граничных условий, которые поэтому могут быть выбраны из соображений удобства вычислений.
    Применяя к граничным условиям теорему Блоха, находим

nk(r + Niai) = exp(iNikai)nk(r), i = 1, 2, 3

(2.7)

Соотношение (2.7) для произвольных N_i может выполняться только при условии

exp(iNikai) = 1 , где i =1, 2, 3, т.е. Nikai = 2mi,

(2.8)

где m_i -целые числа.
    Представим k в виде разложения по базису векторов b_j обратной решетки (см. Д-2)

k = j=1,2,3 xjbj,

(2.9)

где х_j - действительные числа, b_ja_i = 2_ij .

Тогда из (2.8) и (2.9) получим x_j = m_j/N_j и разрешенный блоховский волновой вектор должен иметь следующий общий вид

k = j=1,2,3 (mj /Nj )bj.

(2.10)

Из (2.10) следует, что объем k в k -пространстве, приходящийся на одно разрешенное значение k, равен объему параллелепипеда с ребрами b_j/N_j:

k = b1 /N1 [(b2 /N2 ) x (b3 /N3 )] = (1/N) b1 (b2 x b3).

(2.11)

Cледовательно, N = b₁ (b₂ x b₃)/k есть число разрешенных волновых векторов в 1-й элементарной ячейке обратной решетки, т.е. в 1-й зоне Бриллюэна.
    Поскольку b₁ (b₂ x b₃) есть объем элементарной ячейки обратной решетки, ф-ла (2.11) означает, что число разрешенных волновых векторов, содержащихся в одной элементарной ячейке обратной решетки, равно числу ячеек в кристалле.
    Объем элементарной ячейки обратной решетки равен (2)³/v, где v = V/N - объем элементарной ячейки прямой решетки. Следовательно, формулу (2.11) можно записать в виде:

k = (2)3/V.

(2.12)

Это совпадает с результатом, полученным в теории Зоммерфельда.

На главную сайта Dvoika.net