Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Явление радиоактивности Радиация Электромагнитное излучение Действие ионизирующих излучений Поглощенная доза космогенные радионуклиды испытания ядерного оружия ядерный реактор продукты выброса Меры радиационной защиты воздействия радиации

Доказательство теоремы Блоха

    Любую функцию, подчиняющуюся граничным условиям Борна -Кармана, можно разложить по базису плоских волн, удовлетворяющим этому условию, и поэтому имеющих волновые векторы типа
q = _j=1³(m_j/N_j)b_j:

(r) = _qc_q exp(iqr)
(2.13)

Поскольку потенциал U(r) имеет периодичность решетки, в его разложении по плоским волнам будут входить только плоские волны с периодичностью решетки, поэтому их волн. векторы являются векторами обратной решетки.

U(r) = _G U_G exp(iGr)
(2.14)

Cумирование по всем векторам G обратной решетки.
    Коэффициенты Фурье U_G связаны с U(r) соотношением

U_G = 1/v_{(по ячейке)}dr exp(iGr) U(r)
(2.15)

Аддитивную постоянную выберем так, что

U₀ = 1/v_{(по ячейке)}dr U(r) = 0
(2.16)

Поскольку U(r) действителен, то U*_G = U-_G .Пусть кристалл обладает центром инверсии. Тогда при выборе начала координат в центре инверсии

U-_G = U_G = U*_G.

Подставляя в уравнение Шредингера. ( -²/ 2m²+ U(r) = E), получаем

_q²/2mq²c_q exp(iqr) + (_G U_G exp(iGr)) (_qc_q exp(iqr)) = E_qc_q exp(iqr)

(2.17)

_q exp(iqr) [(²/2mq² - E)c_q + _GU_Gc_q-G'] = 0

{Пояснение: _G,qU_Gc_q exp(i(G-q)r)) = _G,q'U_Gc_q'-G exp(iq' r) = (q'q) = _G,qU_Gc_q-G exp(iq r)}

    Поскольку плоские волны, удовлетворяющие граничному условию Борна-Кармана, образуют ортогональный набор, коэффициенты при каждом слагаемом в (2.17) должны быть равны нулю, поэтому для всех разрешенных волновых векторов q получаем

(²/2mq² - E)c_q + _GU_Gc_q-G' = 0.
(2.18)

     Уравнение (2.18) можно переписать в другом виде, представив вектор q в форме q = k - G, где вектор обратной решетки G выбран так, чтобы вектор k лежал в первой зоне Бриллюэна, и заменив G' G' - G. А именно,

[²/2m (k-G)² - E]c_k-G + _G'U_G'-Gc_k-G' = 0.
(2.19)

    Уравнения (2.18) и (2.19) - это новая форма записи уравнения Шредингера в импульсном пространстве. Простота записи этих уравнений основывается на том, что, согласно (2.14), коэффициенты U_kотличны от нуля только если k совпадает с одним из векторов обратной решетки.
    Для данного разрешенного k из 1-й зоны Бриллюэна имеется N независимых решений c_k-G , удовлетворяющих ур-ю (2.19) и отличающихся волновыми векторами на один из вектров обратной решетки. Решив эту систему уравнений, можем теперь, с учетом q = k - G, записать разложение волновой функции (2.13) в виде
(r) = _Gc_k-G exp(i(k-G)r)

или

_k(r) = exp(ikr)_Gc_k-G exp(-iGr).
(2.20)

Т.е. видно, что функция имеет блоховскую форму (2.3), где функция u(r)

u(r) = _G c_k-G exp(-iGr),
(2.21)

что и требовалось доказать.

На главную сайта Dvoika.net