Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Энергетические зоны в "пустой" решетке.

    Для описания общего вида зонной структуры вещества часто бывает вполне достаточно воспользоваться приближением "пустой" решетки, т.е. решетки потенциал взаимодействия в которой пренебрежимо мал, U(r) = 0. При этом сам факт присутствия периодичности решетки приводит к образованию зонной структуры в энергетическом спектре электронов.
    Уравнение Шредингера для электрона в "пустой" периодической решетке из (2.2)

-(2/2m)2 = E(r),

(2.22)

     Решением этого уравнения, очевидно, являются плоские волны, волновой вектор которых может быть представлен в виде суммы вектора обратной решетки G и вектора k, лежащего в первой зоне Бриллюэна. Волновая функция может быть записана в блоховской форме (2.3)

nk(r) = unk(r)exp(ikr),

(2.23)

где u_nk(r) = exp(iGr). Вектор G играет здесь роль индекса зоны n. Собственное значение энергии выражается формулой

En(k) = (2/2m) (k + G)2.

(2.24а)

Из (2.22) также видно, что это же решение будет справедливо в случае постоянного потенциала U₀. Энергия электронов в этом случае будет

En(k) = U0 + (2/2m) (k + G)2.

(2.24б)

     Рассмотрим зонную структуру г.ц.к. решетки в приближении "пустой" решетки. Обратной решеткой для г.ц.к. решетки Браве является о.ц.к. решетка, ячейка Вигнера-Зейтца, т.е. зона Бриллюэна, которой является "усеченный октаэдр" (рис. 2.1а). Энергия E_n(k) наинизшей зоны соответствует G = 0 в центре з.Б. - точка
Г (0,0,0). Это состояние, как и вся 1-я з.Б., невырождено. Учитывая структуру векторов G обратной решетки, для г.ц.к. решетки, легко увидеть, что второй энергетический уровень при k = 0 равен ²G²/2m, причем
G = (2/a)(+1, +1, +1). Этот уровень вырожден восьмикратно, т.е. восемь плоских волн

nk(x,y,z) = exp[2i/a(+x +y +z)]

(2.25)

имеют одинаковую энергию.

На главную сайта Dvoika.net