Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Приближение слабого периодического потенциала.

    В приближении слабого периодического потенциала (СПП) состояние электронов, описываемое ур. Ш., подвержено лишь слабому возмущающему воздействию со стороны ионов. Приближение (СПП) дает достаточно хорошее описание, с частности, зонной структуры металлов с внешними s- и p-оболочками (металлы I-IV групп). Эти элементы называют металлами с почти свободными электронами. Два фактора лежат в основе СПП:

1. Электроны проводимости не могут скапливаться в области достаточно сильного потенциала остовов вследствие принципа Паули.
2. Электроны проводимости оказывают дополнительную (к электронам остова) экранировку взаимодействия.

Итак, мы должны решить уравнение Шредингера, например, в форме (2.19),

[2/2m (k-G)2 -E]ck-G + G' UG'-Gck-G' =0,

(2.26)

где компоненты разложения потенциала U_G'-G достаточно малы (позже мы уточним, что значит "достаточно"). Решение этого уравнения представим в виде разложения по плоским волнам (2.20) (являющихся решением ур.(2.19) для U(r) = 0)

k(r) = exp(ikr)G ck-G exp(-iGr),

(2.27)

где сумма берется по всем векторам обратной решетки. Множество (бесконечное) решений для заданного k нумеруется значениями числа n - номера зоны. Чтобы не считать один и тот же уровень много раз, мы будем считать, что вектор k лежит в одной зоне, скажем в 1-й зоне Бриллюэна.
    Можно показать (см. например АМ, Гл.9), что воздействие слабого потенциала на уровни свободного электрона E⁰_k-G существенно только в том случае, если уровни вырождены. Такое вырождение обычно имеет место вблизи границы зоны Бриллюэна или вблизи брэгговской плоскости. А именно, в этом случае отклонение энергии электрона в поле слабого потенциала от E⁰_k-G будет определяться первым порядком потенциала: |E_k - E⁰_k-G| ~ U, а коэффициенты разложения в (2.20) из (2.26):

ck-G = ( UGj-G ck-Gj)/(E-E0k-G) + O(U2), (2.28)

где m-число вырождений уровня с данным k. Чтобы найти основные поправки к энергиям уровней достаточно решить систему уравнений для m-вырожденных уровней

(E-E0k-Gi) ck-Gi = UGj-Gi ck-Gj ,

(2.29)

где i = 1,…m
    Если же уровни далеки от вырождения, т.е. |E_k - E⁰_k-G| >> U, то воздействие потенциала будет пропорционально квадрату потециала |E_k - E⁰_k-G| ~ U², т.е. мало (см. АМ, Гл.9)

На главную сайта Dvoika.net