Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Энергетические уровни вблизи одной из брэгговских плоскостей. Энергетическая щель.

    Рассмотрим простейший пример, когда два уровня свободных электронов расположены близко друг к другу (по сравнению с U), но далеко от остальных уровней (также по сравнению с U). Т.е. при данном k имеются векторы обратной решетки G₁ и G₂, для которых |E⁰_k-G1 - E⁰_k-G2| ~ U, тогда как |E⁰_k-G1,2 - E⁰_k-G| >> U, для всех G G_1,2. Уравнения (2.29) в этом случае сводятся к 2-м:

(E-E0k-G1) ck-G1 = UG2-G1 ck-G2, (E-E0k-G2) ck-G2 = UG1-G2 ck-G1.

(2.30)

Введем

q = k - G1 и G = G2 - G1

(2.31)

Тогда (2.30) запишем в виде

(E-E0q) cq = UG cq-G (E-E0q-G) cq-G = U-G cq = UG cq

(2.32)

Справедливы следующие соотношения:

E0qE0q-G,   |E0q - E0q-G' | >> U при G' G, 0

(2.33)

Энергии E⁰_q E⁰_q-G лишь при условии |q| = |q - G|. Это означает, что точка q должна лежать на плоскости, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему начальную точку в k-пространстве с точкой G обратной решетки, и делит этот отрезок пополам. Эта плоскость называется брэгговской по аналогии с рассеянием рентгеновских лучей. Одновременно, из условия (2.33) |E⁰_q - E⁰_q-G' | >> U при G' G, 0 следует, что вектор q должен лежать далеко от места пересечения 2-х и более плоскостей. Следовательно, случай 2-х почти вырожденных уровней соответствует электрону, волновой вектор которого почти точно удовлетворяет условию однократного брэгговского рассеяния. Соответственно, общий случай большого числа вырожденных уровней применим к исследованию такого уровня свободного электрона, волновой вектор которого почти точно удовлетворяет условию одновременного существования многих брэгговских отражений. Поскольку слабый периодический потенциал сильнее всего влияет на почти вырожденные уровни, можно сделать вывод, что главное воздействие слабый периодический потенциал оказывает лишь на те уровни свободного электрона, волновые векторы которых близки к векторам, допускающим брэговское отражение.

Для 2-х уровневой почти вырожденной системы (одна брэгговская плоскость) уравнения (2.32) имеют решение при условии

(2.34)

из которого следует квадратное уравнение

(E-E0q) (E-E0q-G) = |UG|2.

(2.35)

Его два корня

E = (E0q + E0q-G) /2 + [((E0q - E0q-G)/2)2 + |UG|2]1/2

(2.36)

Рис. 2.2.

описывают главный результат воздействия периодического потенциала на два уровня E⁰_q и E⁰_q-G свободных электронов, когда точка q близка к брэгговской плоскости, определяемой вектором G. Графически решения показаны на рис. 2.2. Для точек, лежащих непосредственно на брэгговской плоскости: E⁰_q = E⁰_q-G, следовательно

E = E0q + |UG|.

(2.37)

Т.е. один уровень понижается, а другой повышается на величину |U_G|. Исходя из (2.26) можно показать, что при E⁰_q = E⁰_q-G выполняется соотношение

dE/dq = 2/ m (q - G/2).

(2.38)

Т.е. если точки q лежат на брэгговской плоскости, то градиент Е параллелен этой плоскости. Поскольку градиент перпендикулярен поверхности на которой функция постоянна, изоэнергетические поверхности вблизи брэгговской плоскости перпендикулярны ей. Если точка q принадлежит одной из брэгговских плоскостей, нетрудно также определить вид волновых функций, отвечающих двум решениям E = E⁰_q + |U_G|. Из уравнения (2.32) следует, что если Е дается выражением (2.37), то два коэффициента c_q и с_q-G удовлетворяют соотношению

cq = +sign (UG)сq-G.

(2.39)

Поскольку первые два члена доминируют в разложении (2.20) по плоским волнам, то получаем:

Если UG > 0, то:	(2.40)
|(r)|2 ~ (cos(1/2Gr))2,     E = E0q + |UG| |(r)|2 ~ (sin(1/2Gr))2,        E = E0q - |UG|,
а если UG < 0, то:
| (r)|2 ~ (sin(1/2Gr))2,     E = E0q + |UG| |(r)|2 ~ (cos(1/2Gr))2,       E = E0q - |UG| .

 

На главную сайта Dvoika.net