Методы расчета зонной структуры
Приближение сильной связи (tight binding approximation)
Приближение сильной связи применимо к тем случаям, когда перекрытие атомных волновых функций достаточно велико, чтобы приводить к необходимости введения поправок в представление об изолированных атомах, но в то же время не столь существенно, чтобы сделать атомное описание совершенно неправомочным. Этот метод имеет еще другое название - метод линейной комбинации атомных орбиталей - ЛКАО или в английской терминологии - linear combination of atomic orbitals (LKAO) method. Это приближение наиболее полезно для описания энергетических зон, возникающих из частично заполненных d-оболочек атомов переходных металлов, а также для описания электронной структуры диэлектриков.
|
 Рис.3.2. Расщепление атомных уровней при сближении атомов |
Представим себе 2 сближающихся атома водорода А и В, рис.3.1. При сближении их
волновые функции начинают перекрываться, образуя две комбинации
А +
В
(рис.3.1б) и А-В
(рис.3.1в). Каждая из комбинаций А
+ В
делит один электрон между двумя протонами, но электрон в состоянии А+
В
будет иметь несколько меньшую энергию, чем в случае А-В
(из-за деструктивной интерференции электрон-атомное взаимодействие ослаблено).
Таким образом, каждое состояние 2х сближающихся атомов будет расщепляться на два
состояния, каждый энергетический уровень - на два уровня. Соответственно, при
сближении N-атомов каждая атомная орбиталь расщепляется на N орбиталей, образуя
полосы в кристалле. Ширина полосы пропорциональна силе взаимодействия (интегралу
перекрытия) между соседними атомами.
Гамильтониан. В
соответствии с изложенным атомный гамильтониан Hat, собственными значениями
и собственными волновыми функциями которого являются, соответственно, атомные
En и n,
удовлетворяющие уравнению Шредингера
Hat | (3.1) |
должен быть модифицирован, так что
| H | (3.2) |
где 
U(r)
содержит поправки на периодическое межатомное взаимодействие. Функция n(r)
становится малой, когда r > rc ~ a, где а - период решетки. С учетом
этого, если n(r)
удовлетворяет уравнению (3.1) для атомного потенциала, то оно удовлетворяет также
ур. (3.2) при условии U(r)
= 0, в области, где n(r)
0
, и n(r) = 0 там, где U(r)0.
В этом случае, каждый атомный уровень n(r) дает N-уровней с волновыми
функциями n(r-R), где R = rj
- узлы решетки, по одному уровню на каждый узел решетки. Представим волновую
функцию, удовлетворяющую уравнению (3.2) в виде N-линейных комбинаций атомных
орбиталей
|
|
(3.3) |
ReikR
где k принимает N значений в 1-й зоне Бриллюэна. Легко видеть, что при таком представлении удовлетворяется условие Блоха (2.5)
[ | (3.4) |
Т.о. волновая функция (3.3) удовлетворяет условию Блоха
и сохраняет свойства атомных волновых функций. Однако, энергетические зоны, полученные
с помощью волновых функций (3.3) оказываются неинтересными, поскольку совпадают
с энергиями атомных уровней Еn и не зависят от k. Следовательно,
необходимо сделать следующий шаг: полагаем, что в области U(r)0
волновая функция, удовлетворяющая уравнению (3.2) хотя и мала, но не равна
нулю. Мы ищем собственные функции уравнения (3.2) в общем виде (3.3),
|
|
(3.5) |
но считаем, что Ф(r) не совпадает с атомными функциями, и должна быть определена в ходе рассмотрения.
