Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Метод псевдопотенциала.(E. Antonchik, 1959; J.C. Philips, L. Kleinman, 1959)

Метод псевдопотециала (ПП) возник как обобщение метода ОПВ. Предположим, что точная волн. функция записана в виде линейных комбинаций ОПВ, подобно (3.32). Пусть _k^v есть часть этого разложения, в которое входят только плоские волны (описывающие валентные электроны):

kv(r) = G CGexp [i(k+G)].

(3.34)

 Тогда мы можем переписать разложение (3.32) и (3.29) следующим образом.

kv (r) = kv(r) - c [dr'ck*(r')kv(r')] ck(r).

(3.35)

Поскольку _k^v (r) - точная волновая функция валентного уровня, она удовлетворяет уравнению Шредингера с собственным значением E_k^v :

Hkv =Ekv.

(3.36)

Подстановка (3.35) в (3.36) дает

H - c [dr'ck*(r')φkv(r')] Hck(r) = Ekv{φkv(r) - c [dr'ck*(r') φkv(r')] ck(r)}

(3.37)

Замечая, что H_k^с = E_k^с _k^с для точных уравнений остова, мы можем переписать (3.38) в виде

(H+VR)φkv = Ekvφkv ,

(3.38)

где более громоздкие члены отнесены в оператор V^R, определяемый в соответствии с соотношением:

VR =  c (Ekv - Ekc)[dr'ck*(r')(r')] ck.

(3.39)

В результате мы получили эффективное уравнение Шредингера (3.38), которому удовлетворяет плавная (не осциллирующая) составляющая φ_k^v блоховской функции.

Ф-я φ_k^v может быть приближенно представлена в виде линейной комбинации малого числа плоских волн. Естественно предположить поэтому, что для определения уровней валентных электронов для гамильтониана H+V^R применима теория почти свободных электронов. Это важнейшее свойство этого метода.

Псевдопотенциал определяется как сумма реального периодического потенциала U(r) и V^R:

Vpsevdo(r)= U(r) + VR(r).

(3.40)

Свойства псевдопотенциала. а) Нелокальность вытекает из (3.39). Действие V^R на волновую функцию, а следовательно, и V^psevdo не сводится к умножению ее на какую-либо функцию от r. б) Псевдопотенциал зависит от E_k^v искомого уровня, поэтому многие из фундаментальных теорем, например, об ортогональности собственных функций, принадлежащим различным собственным состояниям, уже не применимы для V^psevdo. Более полное обсуждение свойств псевдопотенциала можно найти в АМ, Гл.11.

Теорема компенсации потенциалов. Реальный потенциал U(r) в области кора всегда имеет притягивающий характер и поэтому матричный элемент <ψ|U|ψ> =drψ^c_k*(r)U(r)ψ(r) отрицателен. Соответствующий матричный элемент потенциала V^R(r), согласно (3.39) равен

<ψ|VR|ψ> = c (Ekv - Ekc)|drψck*(r)ψ(r)|2.

(3.41)

Поскольку энергия валентных электронов всегда выше энергий уровня остова, последняя величина всегда положительна. Поэтому суммирование V^R и U приводит к их, хотя бы частичной, компенсации. Это дает основание для утверждения, что псевдопотенциал во многих случаях будет достаточно мал, чтобы для расчетов псевдоволновых функций  φ_k^v можно было бы использовать приближение почти свободных электронов и рассматривать псевдопотенциал V^R как малое возмущение.

На главную сайта Dvoika.net