Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Основные положения квазиклассической модели. Электроны как волновые пакеты. Уравнения движения во внешних полях.

    В классической механике электрон обладает траекторией, т.е. помимо энергии, в данный момент времени - координату и производные координаты по времени - скорость/импульс, ускорение и т.д. Это, естественно, предполагалось в теории Друде. В теории Зоммерфельда утверждалось также, что для расчета динамического поведения электронов можно пользоваться обычными уравнениями классической механики, если только не требуется описывать местоположение электрона с точностью порядка межэлектолнных расстояний. Т.е., в промежутках между столкновениями, частица с импульсом hk подчиняется уравнениям:

= dr/dt = k/m   = dk/dt = -e[E + v х B]

(4.1)

(здесь и далее - в системе CGS, в системе СИ - нужно убрать фактор 1/c перед v). Для оправдания квазиклассического подхода с точки зрения квантовой механики можно сказать, что уравнения (4.1) в действительности описывают поведение волнового пакета, составленного из уровней свободных электронов с волновыми векторами k' :

(r,t) = k 'g(k')exp[i(k'r - k'2t/2m)] g(k')0, when | k'- k | > k

(4.2)

где r и k -средние координата и квазиимпульс, вблизи которых сосредоточен волновой пакет
(с учетом xk > 1, согласно с принципом неопределенности). В теории Блоха состояние электрона характеризуется волновой функцией _n,k(r,t), соответствующей заданной зоне n и волновому вектору k. Волновой пакет блоховских электронов можно определить аналогично в. пакету свободных электронов:

n(r,t) = k g(k')nk' (r)exp[-En(k')t] g(k')0, если | k'- k | > k

(4.3)

Пусть ширина пакета по волновым векторам k мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна и поэтому E_n(k) мало меняется для уровней, входящих в волновой пакет. Тогда групповая скорость пакета будет равна

vg = d/dk = d/dk(E/)

(4.4а)

что совпадает со скоростью электронов в блоховском состоянии с волновой функцией _n,k (см. Приложение Д в АМ):

vn (k) =

(4.4б)

Поскольку  k мало по сравнению с зоной Бриллюэна, k << 1/a, то размер волнового пакета в конфигурационном пространстве

R1/k >> a,

(4.5)

т.е. в. пакет “размазан” по большому числу элементарных ячеек в реальном пространстве. Полуклассическая модель описывает воздействие на электроны полей, которые медленно меняются на длине волнового пакета, и, стало быть гораздо медленней на межатомном расстоянии, т.е.  >> R >> a. (4.6)

На главную сайта Dvoika.net