Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Электронные, дырочные и открытые орбиты.

Рис. 4.1. Электронные a), дырочные б) и открытые в) орбиты

    Для электронов в магнитном поле на поверхности Ферми возможны 3 типа орбит: электронные, дырочные и открытые орбитали. На рис. 4.1. изображены схематично траектории электронов в 1-й зоне Бриллюэна в магнитном поле, перпендикулярном плоскости чертежа. Замкнутые траектории могут охватывать заполненную (рис.4.1а) и "пустую" (рис.4.1б) область. Градиент энергии направлен в сторону незаполненной области, т.е. в первом случае наружу, а во втором случае внутрь замкнутой траектории. Соответственно ур. (4.8б), направление движения в первом и во втором случае противоположны, что можно представить как движение частиц с противоположным знаком заряда. Поэтому, траектории типа рис. 4.1а и рис. 4.1б, называют, соответственно, "электроноподобные" и "дыркоподобные", или просто электронные и дырочные орбиты.
    В отличие от предыдущих, траектории типа изображенных на рис. 4.1в не замкнуты 1-й зоной Бриллюэна, это т.н. открытые траектории. При достижении точки В на границе 1-й з.Б., частица перемещается в точку А, и движение повторяется.

Квантование орбит электрона во внешнем постоянном магнитном поле.

    В r-пространстве. Из электродинамики известно, что полный (или обобщенный) импульс частицы р может быть представлен в виде суммы кинетического р_кин и потенциального р_пот слагаемых:

р = ркин + рпот

(4.10a)

где

ркин = mv = k, рпот = qA/c (в системе СГС),

(4.10б)

где q-заряд, А - вектор потенциал, который удовлетворяет ур-ю

B = rotA = [N A]

(4.10в)

Следуя полуклассическому подходу Онсагера и Лифшица, мы полагаем, что орбиты в магнитном поле квантуются в соответствии с правилом квантования Бора-Зоммерфельда:

= (n + )2,

(4.11)

где n-целое, g =1/2 - (коррекция фаз). Тогда,

= +

(4.12)

Интегрируя (4.8б), с точностью до константы имеем

k = (q/c)[rB]

(4.13)

Отсюда и из (4.10в) для 1-го слагаемого в правой части (4.12) имеем:

=

(4.14)

где Ф - магнитный поток через площадь, ограниченную орбитой. Для второго слагаемого

= (используем теорему Стокса) = (q/c) rotAd = (q/c)Bdr = (q/c)Ф

(4.15)

Отсюда сумма

= - (q/c)Ф = (n + γ)2

(4.16)

Т.о. орбита электронов квантуется т.о., что поток через нее равен

Фn = (n + γ)(2c/e),

(4.17)

где (2c/e) = 4.14 10^-7 Гс·см² (или 4.14·10^-15 Т·м²) -квант магнитного потока (заметим, что в литературе также используется обозначение Ф₀ = Ѕ (2c/e)=2.0710^-15 Т·м², соответствующее минимальному потоку при n = 0 в (4.17)).

На главную сайта Dvoika.net